next up previous contents index
Next: Baza Up: Vektori Previous: Skalarni produkt.   Sadržaj   Indeks


Produkt matrice i vektora.

Neka je $ A=[a_{ij}]$ matrica tipa $ (m,n),$ i $ \boldsymbol{x}=[x_j]\in {\cal R}_{n}$ proizvoljan vektor. Vektor možemo shvatiti kao jednostupčastu matricu, te možemo pomnožiti $ A$ i $ \boldsymbol{x}.$ Dobivamo jednostupčasti vektor

% latex2html id marker 30680
$\displaystyle \boldsymbol{y}=A\,\boldsymbol{x}= \l...
...
\cdots \\
a_{m1}\,x_1+a_{m2}\,x_2+\cdots +a_{mn}\,x_n
\end{array}
\right],$

čije su komponente
$\displaystyle y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{11}\,x_1+a_{12}\,x_2+\cdots+a_{1n}\,x_n$  
$\displaystyle y_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{21}\,x_1+a_{22}\,x_2+\cdots +a_{2n}\,x_n$  
    $\displaystyle \cdots$  
$\displaystyle y_m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{m1}\,x_1+a_{m2}\,x_2+\cdots +a_{mn}\,x_n.$  

Dakle $ \boldsymbol{y}$ je vektor u $ {\cal R}_{m}.$ Tako množenje matricom $ A$ tipa $ (m,n)$ možemo shvatiti kao funkciju koja preslikava vektore iz $ {\cal R}_{n}$ u vektore iz $ {\cal R}_{m}.$

Primjer 1.6   Na pr. matrica

% latex2html id marker 30716
$\displaystyle \left[\begin{array}[center]{cc}
2 & 3 \\  -1 & 1 \\  0 & 2
\end{array}\right]$

djeluje kao preslikavanje iz $ {\cal R}_{2}$ u $ {\cal R}_{3}.$ Na slici 1.4 su prikazani vektorstupci

% latex2html id marker 30722
$\displaystyle \boldsymbol{x}= \left[ \begin{array}...
...t],\quad
\boldsymbol{z}= \left[ \begin{array}{c}
-2 \\  1
\end{array}\right]$

kao radijvektori. Slika 1.5 predstavlja njihove slike nakon djelovanja matrice (nakon množenja s matricom).

Slika 1.4: Vektori u $ {\cal R}_{2}.$
\includegraphics{m3vekt.eps}

Slika 1.5: Slike vektora iz $ {\cal R}_{2}.$
\includegraphics{m3mvekt.eps}

To preslikavanje je linearno, jer vrijedi

$\displaystyle A\,(\lambda_1\,\boldsymbol{x}_1+\lambda_2\,\boldsymbol{x}_2)=
\lambda_1\,A\,\boldsymbol{x}_1+\lambda_2\,A\,\boldsymbol{x}_2$

za bilo koje brojeve $ \lambda_1,\lambda_2,$ i bilo koje vektore $ \boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2.$

Definicija 11   Neka su $ V$ i $ W$ dva vektorska prostora, i neka je $ {\cal
A}\,:V\rightarrow W$ funkcija sa svojstvom

$\displaystyle {\cal A}\,(\lambda\,\boldsymbol{v}_1+\mu\,\boldsymbol{v}_2)=\lambda\,{\cal A}\,(\boldsymbol{v}_1)+
\mu\,{\cal A}\,(\boldsymbol{v}_2),$

za svaki par vektora $ \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\in V,$ i za svaki par brojeva $ \lambda,\mu.$ Takvu funkciju zovemo linearnim operatorom.

U skladu s ovom definicijom, matricu $ A$ tipa $ (m,n)$ možemo smatrati linearnim operatorom s prostora $ {\cal R}_{n}$ u prostor $ {\cal R}_{m}.$

Slike 1.6 i 1.7 pokazuju kako djeluje matrica

% latex2html id marker 30767
$\displaystyle \left[\begin{array}[center]{ccc}
2 & 3 & -1 \\  1 & 0 & 2
\end{array}\right]$

kao preslikavanje iz $ {\cal R}_{3}$ u $ {\cal R}_{2},$ kad vektorstupce

% latex2html id marker 30773
$\displaystyle \boldsymbol{x}_1 = \left[\begin{arra...
...ymbol{x}_3 = \left[\begin{array}[center]{c}
-3 \\  1 \\  2
\end{array}\right]$

identificiramo s radijvektorima.

Slika 1.6: Vektori u $ {\cal R}_{3}.$
\includegraphics{m3vekt1.eps}

Slika 1.7: Slike vektora iz $ {\cal R}_{3}.$
\includegraphics{m3mvekt1.eps}


next up previous contents index
Next: Baza Up: Vektori Previous: Skalarni produkt.   Sadržaj   Indeks
2001-10-26