Produkt matrice i vektora.

Neka je $A=[a_{ij}]$ matrica tipa $(m,n),$ i $\boldsymbol{x}=[x_j]\in {\cal R}_{n}$ proizvoljan vektor. Vektor možemo shvatiti kao jednostupčastu matricu, te možemo pomnožiti $A$ i $\boldsymbol{x}.$ Dobivamo jednostupčasti vektor

$$\boldsymbol{y}=A\,\boldsymbol{x}= \l... ... \cdots \\ a_{m1}\,x_1+a_{m2}\,x_2+\cdots +a_{mn}\,x_n \end{array} \right],$$

čije su komponente

$$y_1 = a_{11}\,x_1+a_{12}\,x_2+\cdots+a_{1n}\,x_n$$

$$y_2 = a_{21}\,x_1+a_{22}\,x_2+\cdots +a_{2n}\,x_n$$

$$\cdots$$

$$y_m = a_{m1}\,x_1+a_{m2}\,x_2+\cdots +a_{mn}\,x_n.$$

Dakle $\boldsymbol{y}$ je vektor u ${\cal R}_{m}.$ Tako množenje matricom $A$ tipa $(m,n)$ možemo shvatiti kao funkciju koja preslikava vektore iz ${\cal R}_{n}$ u vektore iz ${\cal R}_{m}.$

Primjer 1.6   Na pr. matrica

$$\left[\begin{array}[center]{cc} 2 & 3 \\ -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array}\right]$$

djeluje kao preslikavanje iz ${\cal R}_{2}$ u ${\cal R}_{3}.$ Na slici 1.4 su prikazani vektorstupci

$$\boldsymbol{x}= \left[ \begin{array}... ...t],\quad \boldsymbol{z}= \left[ \begin{array}{c} -2 \\ 1 \end{array}\right]$$

kao radijvektori. Slika 1.5 predstavlja njihove slike nakon djelovanja matrice (nakon množenja s matricom).

Slika 1.4: Vektori u ${\cal R}_{2}.$

Slika 1.5: Slike vektora iz ${\cal R}_{2}.$

To preslikavanje je linearno, jer vrijedi

$$A\,(\lambda_1\,\boldsymbol{x}_1+\lambda_2\,\boldsymbol{x}_2)= \lambda_1\,A\,\boldsymbol{x}_1+\lambda_2\,A\,\boldsymbol{x}_2$$

za bilo koje brojeve $\lambda_1,\lambda_2,$ i bilo koje vektore $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2.$

Definicija 11   Neka su $V$ i $W$ dva vektorska prostora, i neka je ${\cal A}\,:V\rightarrow W$ funkcija sa svojstvom

$${\cal A}\,(\lambda\,\boldsymbol{v}_1+\mu\,\boldsymbol{v}_2)=\lambda\,{\cal A}\,(\boldsymbol{v}_1)+ \mu\,{\cal A}\,(\boldsymbol{v}_2),$$

za svaki par vektora $\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\in V,$ i za svaki par brojeva $\lambda,\mu.$ Takvu funkciju zovemo linearnim operatorom.

U skladu s ovom definicijom, matricu $A$ tipa $(m,n)$ možemo smatrati linearnim operatorom s prostora ${\cal R}_{n}$ u prostor ${\cal R}_{m}.$

Slike 1.6 i 1.7 pokazuju kako djeluje matrica

$$\left[\begin{array}[center]{ccc} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right]$$

kao preslikavanje iz ${\cal R}_{3}$ u ${\cal R}_{2},$ kad vektorstupce

$$\boldsymbol{x}_1 = \left[\begin{arra... ...ymbol{x}_3 = \left[\begin{array}[center]{c} -3 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right]$$

identificiramo s radijvektorima.

Slika 1.6: Vektori u ${\cal R}_{3}.$

Slika 1.7: Slike vektora iz ${\cal R}_{3}.$