Next: Obične diferencijalne jednadžbe
Up: Numerička integracija
Previous: Simpsonova formula
  Sadržaj
  Indeks
Trapezna i Simpsonova formula su koristile ekvidistantnu podjelu.
Točke podjele su bile jednoliko razmještene na segmentu. Te formule
u pravilu računaju točno integrale polinoma najviše onog stupnja kojeg je
bio interpolacioni polinom. Tako trapezna formula računa
točno integrale polinoma do uključivo prvog stupnja.
Postavlja se pitanje da li postoje formule koje računaju točno
integrale polinoma stupnja višeg nego što je interpolacioni polinom. Takve
formule postoje i zovu se Gaussove kvadraturne formule. U tim
formulama točke podjele nisu više ekvidistantno raspoređene. Točke
podjele ćemo u daljnjem zvati čvorovima.
Kvadraturna formula općenito je oblika
|
(3.23) |
Zbog svojstva linearnosti integrala, kvadraturna formula koja računa
točno potencije do uključivo stupnja računat će točno i
njihove linearne kombinacije, tj. polinome do uključivo -tog
stupnja. Dakle, pretpostavimo da greška prilikom računanja
potencija do uključivo stupnja iščezava
Tako imamo jednadžbu za
nepoznanica
Općenito
sustav treba imati onoliko jednadžbi koliko ima nepoznanica, da bismo
imali jedinstveno rješenje. Ne ulazeći dublje u tu problematiku,
primijetimo da u ovom slučaju to znači da treba biti
Dakle, u principu, s kvadraturnih točaka
se
mogu rješavati točno integrali polinoma stupnja najviše
Umjesto rješavanja gornjeg sustava, za određivanje čvorova
i težina
koristimo ideju
koja potječe od C. F. Gaussa, a osniva se na sljedećem
razmatranju.
Neprekidne funkcije na čine vektorski prostor obzirom na
uobičajene operacije zbrajanja funkcija i množenja funkcije
brojem. Svakom paru takvih funkcija možemo pridružiti broj
Funkcija, koja uređenom paru pridružuje
ima
svojstva
-
-
-
-
-
pa se zato zove skalarni produkt. To nam omogućava da
govorimo o međusobno ortogonalnim funkcijama, njihovoj duljini itd.
Vratimo se sada na naš problem. Da diskusija ne bi ovisila o
području integracije, prijeđimo na segment supstitucijom
Tada je
gdje je
Iz formule (3.23) slijedi
Neka su
tražene kvadraturne točke. Po
pretpostavci, kvadraturna formula je točna za polinome do uključivo
-og stupnja. Prema tome
za
S druge strane suma iščezava, jer se za svaki
jedan faktor poništava. To znači, da je polinom
okomit na polinome
a prema tome i na njihove
linearne kombinacije, tj. na sve polinome stupnja najviše
Takvi polinomi se
zovu Legendreovi polinomi. Točke Gaussove kvadrature su upravo
korijeni (nule) tih polinoma. Nađimo Legendreove polinome. U tu svrhu
ortogonalizirajmo polinome
Gram-Schmidtovim postupkom
Tako na segmentu imamo točke kvadrature
Težine jednostavno možemo izračunati na sljedeći
način. Gaussova kvadratura računa točno polinome do uključivo
-og stupnja. Neka su
polinomi sa
svojstvom
To su
polinomi koji su se pojavili prilikom Lagrangeove interpolacije.
Njihov stupanj je pa Gaussova kvadratura računa njihove
integrale točno. To znači
tj.
Nultočke Legendreovihovih polinoma uglavnom su iracionalni
brojevi, pa uzimajući vrijednosti iz gornje tablice, činimo grešku
zamjenjujući iracionalan broj decimalnim. Tako ipak ne dobivamo
apsolutnu točnost. No, barem smo uklonili grešku koja se odnosi na
zamjenu integrala kvadraturnom formulom.
Next: Obične diferencijalne jednadžbe
Up: Numerička integracija
Previous: Simpsonova formula
  Sadržaj
  Indeks
2001-10-26