Simpsonova formula

U slučaju $n=2,$ iz formule (3.20) imamo $t_0=-1,t_1=0,t_2=1$ pa su ponderi

$$w_0 = \int_{-1}^1 \frac{(t-t_1)(t-t_2)}{(t_0-t_1)(t_0-t_2)}\,dt = \int_{-1}^1 \frac{t(t-1)}{2}\,dt = \frac{1}{3},$$

$$w_1 = \int_{-1}^1 \frac{(t-t_0)(t-t_2)}{(t_1-t_0)(t_1-t_2)}\,dt = -\int_{-1}^1 (t+1)(t-1)\,dt = \frac{4}{3},$$

$$w_2 = \int_{-1}^1 \frac{(t-t_1)(t-t_0)}{(t_2-t_1)(t_2-t_0)}\,dt = \int_{-1}^1 \frac{t(t+1)}{2} = \frac{1}{3}.$$

Prema tome formula glasi

$$\int_a^b f(x)\,dx \approx{} \frac{b-a}{6}\,\left[f(a) + 4\, f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b)\right],$$

uz ocjenu greške

$$\vert R_2\vert \leqslant{} \frac{M}{90}\,\left(\frac{b-a}{2}\right)^5,$$

gdje je

$$M = \max_{x \in [a,b]} \left\vert f^{iv}(x)\right\vert.$$

Kao i kod trapezne formule, točniji rezultat ćemo dobiti, ako segment $[a,b]$ podijelimo na podsegmente, i na svakom od njih posebno koristimo ovu formulu. Radi jednostavnosti uzimamo ekvidistantnu podjelu. Budući da na svakom podsegmentu uzimamo još srednju točku, podsegmenata imamo zapravo $2m.$ Neka je dakle

$$\frac{b-a}{2\,m}=h,$$   i $$\hspace{1cm} a=x_0<x_1<x_2<\ldots{}<x_{2m-1}<x_{2m}=b.$$

Sada primjenjujemo približnu formulu na parovima susjednih podsegmenata i to tako da srednja točka bude točka s neparnim indeksom. Tako dobivamo formulu

$$\int_a^b f(x)\,dx \approx{} \frac{b-a}{6\,m}\,\left[f(a) + 4\, f(x_1) + f(x_2)\right]+$$

$$+ \frac{b-a}{6\,m}\,\left[f(x_2) + 4\, f(x_3) + f(x_4)\right] + \cdots{}+$$

$$+ \frac{b-a}{6\,m}\,\left[f(x_{2m-2}) + 4\, f(x_{2m-1}) + f(x_{b})\right],$$

odnosno

$$\int_a^b f(x)\,dx\approx\frac{h}{3}\{f(a)+2\,[f(x_2)+f(x_4)+\cdots +f(x_{2m-2})]$$

$$+4\,[f(x_1)+f(x_3)+\cdots+f(x_{2m-1})]+f(b)\},$$

koja se zove Simpsonova formula.

Diskusija kao kod trapezne formule nas dovodi do ocjene greške

$$\vert R_S\vert \leqslant{} \max_{x \in [a,b]} \left\vert f^{iv}(x... ...x_{x \in [a,b]} \left\vert f^{iv}(x)\right\vert \,\frac{(b-a)^5}{180\,(2m)^4}.$$

Primjer 3.16   Pomoću numeričke integracije izračunati približno broj $\pi$ na šest decimala točno.

Rješenje. Najprije sjetimo se da je ${\rm Arctg}\,1=\frac{\pi}{4},$ i ${\rm Arctg}\,0=0.$ Odatle

$$\frac{\pi}{4} = {\rm Arctg}\,1 - {\r... ...= \int_0^1 \frac{d\,{\rm Arctg}\,x}{d\,x}\,dx = \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2}\,dx.$$

Dakle

$$\pi = 4\,\int_0^1 \frac{1}{1 + x^2}\,dx,$$

pa treba izračunati ovaj integral na šest decimala točno. Račun ćemo provesti na dva načina, pomoću trapezne i pomoću Simpsonove formule.

1. Podintegralna funkcija je

$$f(x) = \frac{4}{1 + x^2},$$

njezina druga derivacija je

$$f''(x) = {\frac{8\,\left( 3\,{x^2} -1 \right) } {{{\left( 1 + {x^2} \right) }^3}}},$$

a treća

$$f'''(x) = {\frac{-96\,x\,\left( {x^2} -1 \right) }{{{\left( 1 + {x^2} \right) }^4}}}.$$

Kako treća derivacija nema nula u intervalu $\langle 0,1\rangle,$ druga derivacija je na tom intervalu monotona. Računanjem vrijednosti na rubovima lako se vidi da ona raste i to od $-8$ do $2.$ To znači da je $M=8.$ Dakle imamo ocjenu greške za trapeznu formulu

$$\vert R_T\vert \leqslant{} \frac{8}{12\,m^2}.$$

Budući da tražimo točnost prvih šest decimala, mora biti

$$\frac{8}{12\,m^2} < 0.5\times 10^{-6},$$

tj.

$$m > \sqrt{\frac{8\cdot 10^{6}}{12\cdot 0.5}} = 1154.7$$

Prema tome treba segment $[0,1]$ podijeliti na $1155$ podsegmenata.

2. Pomoću Simpsonove formule račun ide ovako. Četvrta derivacija je

$$f^{iv}(x) = {\frac{96\,\left( 1 - 10\,{x^2} + 5\,{x^4} \right) }{{{\left( 1 + {x^2} \right) }^5}}},$$

a peta

$$f^{v} = {\frac{-960\,x\,\left( 3 - 10\,{x^2} + 3\,{x^4} \right) }{{{\left( 1 + {x^2} \right) }^6}}}.$$

Peta derivacija se poništava u $x=0.57735,$ ali je $f^{vi}$ u toj točki pozitivna, pa $f^{iv}$ ima u $x=0.57735$ minimum. Tako četvrta derivacija pada na intervalu od 0 do $0.57735,$ i zatim raste na intervalu od $0.57735$ do $1.$ Imamo

$$f^{iv}(0) = 96,\quad f^{iv}(0.57735) = -40.5,\quad f^{iv}(1) = -12.$$

Dakle $M=96,$ i prema tome treba biti

$$\frac{96}{2880\,m^4} < 0.5\times 10^{-6},$$

odakle $m>16.0686.$ Budući da je broj segmenata potreban za Simpsonovu formulu paran, minimalni $m$ koji treba uzeti je $18.$ Kad se provede potreban račun dobije se

$$\pi \approx 3.141592652.$$