next up previous contents index
Next: Simpsonova formula Up: Numerička integracija Previous: Numerička integracija   Sadržaj   Indeks


Trapezna formula

U slučaju $ n=1,$ iz formule (3.20) imamo $ t_0=-1,t_1=1,$ pa su ponderi

$\displaystyle w_0 = \int_{-1}^1 \frac{t-t_1}{t_0-t_1}\,dt =
\int_{-1}^1 \frac{t...
..._1 = \int_{-1}^1
\frac{t-t_0}{t_1-t_0}\,dt = \int_{-1}^1 \frac{t+1}{2}\,dt = 1.$

Prema tome formula glasi

% latex2html id marker 39777
$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx \approx{} \frac{b-a}{2}\,\left[f(a)+f(b)\right],$ (3.21)

uz ocjenu greške

$\displaystyle \vert R_1\vert \leqslant{} \max_{x \in [a,b]}
\left\vert f''(x)\right\vert\frac{(b-a)^3}{12}.$

\includegraphics{m3trap.eps}
Općenito je greška ove aproksimacije velika. Zato dijelimo segment $ [a,b]$ na podsegmente, i na svakom od njih posebno koristimo ovu formulu. Radi jednostavnosti uzimamo ekvidistantnu podjelu. Neka je dakle

$\displaystyle \frac{b-a}{m}=h,$   i $\displaystyle \hspace{1cm}
a=x_0<x_1<x_2<\ldots{}<x_{m-1}<x_m=b,$

gdje je $ x_i=a+ih.$ Ako na svaki od podsegmenata, čija je duljina $ h,$ primijenimo formulu (3.21), dobivamo

% latex2html id marker 39791
$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx \approx{}
\frac{h}...
...ft[f(x_1)+f(x_2)\right] + \cdots{} +
\frac{h}{2}\,\left[f(x_{m-1})+f(b)\right],$

odnosno

% latex2html id marker 39793
$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx \approx{} \frac{h}...
...eft\{f(a)+2\,\left[f(x_1) + f(x_2) + \cdots{} + f(x_{m-1})\right]+f(b)\right\}.$ (3.22)

Formula (3.22) se zove trapezna formula.
\includegraphics{m3trap1.eps}

Ocjena greške se dobije zbrajanjem grešaka na pojedinim podsegmentima. Tako imamo

$\displaystyle \vert R_T\vert \leqslant{} \sum_{j=1}^m \frac{M_j\,h^3}{12},$

gdje je

$\displaystyle M_j = \max_{x \in [x_{j-1},x_j]} \left\vert f''(x)\right\vert,\hspace{1cm}j=1,2,\ldots{},m.$

Za ovu ocjenu trebalo bi mnogo puta ($ m$ puta) ocjenjivati drugu derivaciju i to na raznim podsegmentima, što nije jednostavno. Zato radije ocjenu napravimo jednom za cijeli segment $ [a,b],$ i uzmemo u obzir da je za svaki $ j$

$\displaystyle M_j \leqslant{} M = \max_{x \in [a,b]} \left\vert f''(x)\right\vert.$

Tako imamo ocjenu

$\displaystyle \vert R_T\vert \leqslant{} \sum_{j=1}^m \frac{M\,h^3}{12} =
\frac{M\,h^3}{12}\,m = \frac{M\,(b-a)^3}{12\,m^2}.$


next up previous contents index
Next: Simpsonova formula Up: Numerička integracija Previous: Numerička integracija   Sadržaj   Indeks
2001-10-26