Provođenje topline

Promatrat ćemo provođenje topline kroz tijelo u prostoru. Slično razmatranje se može provesti kad se radi o tankoj ploči u ravnini.

Polja koja u vezi s tim promatramo su sljedeća.

${u}(x,y,z,t)$ - temperatura tijela u točki $(x,y,z),$ u čas $t,$

${\varphi}(x,y,z,t)$ - količina topline po jedinici volumena, u točki $(x,y,z),$ u čas $t,$

${\psi}(x,y,z,t;\vec{n})$ - količina topline, koja se u jedinici vremena prenese kroz jediničnu površinu izvana prema unutra (smjer suprotan smjeru jediničnog vektora vanjske normale $\vec{n}$) u točki $(x,y,z),$ u čas $t.$

${f}(x,y,z,t)$ - količina topline po jedinici volumena, koja se u jedinici vremena izvana prenese u tijelo u točki $(x,y,z),$ u čas $t.$

Polje ${u}(x,y,z,t)$ je kinematičko polje, a ostala tri polja su dinamička.

Zakoni ponašanja su

$$\varphi = \gamma\,u,\hspace{1cm}\psi = p\,\frac{\partial u}{\partial\vec{n}} = p\,{\rm grad\,}u\cdot \vec{n},$$

gdje je $\gamma{}$ toplinski kapacitet jedinice volumena, a $p$ toplinski koeficijent provođenja. Da bi se toplina prenosila izvana u tijelo, što znači da je $\psi>0,$ mora temperatura vani biti veća, tj. mora biti $\frac{\partial u}{\partial\vec{n}}>0,$ pa je prema tome $p>0.$

Kad provedemo sličan postupak kao za membranu, uzimajući sada zakon o održanju energije kao polazište, dobivamo jednadžbu provođenja topline

$$\gamma\,\frac{\partial u}{\partial t} = p\,\Delta\,u + f.$$