Filtracija

Promatrat ćemo filtraciju nestlačive tekućine kroz poroznu sredinu. Polja koja su nam ovdje važna jesu

${u}(x,y,z,t)$ - tlak tekućine u točki $(x,y,z),$ u čas $t,$

${\varphi}(x,y,z,t)$ - masa tekućine po jedinici volumena, u točki $(x,y,z),$ u čas $t,$

${\psi}(x,y,z,t;\vec{n})$ - masa tekućine, koja se u jedinici vremena prenese kroz jediničnu površinu izvana prema unutra (smjer suprotan smjeru jediničnog vektora vanjske normale $\vec{n}$) u točki $(x,y,z),$ u čas $t.$

${f}(x,y,z,t)$ - masa tekućine po jedinici volumena, koja se u jedinici vremena unese u tijelo (izvori, ponori unutar tijela) u točki $(x,y,z),$ u čas $t.$

Polje ${u}(x,y,z,t)$ je kinematičko polje, a ostala tri polja su dinamička.

Zakoni ponašanja su

$$\varphi = \gamma\,\rho,\hspace{1cm}\psi = p\,\frac{\partial u}{\partial\vec{n}} = p\,{\rm grad\,}u\cdot \vec{n},$$

gdje je $\rho$ gustoća mase tekućine, $\gamma{}$ poroznost, tj. omjer praznog prostora i ukupnog volumena porozne sredine, a $p$ koeficijent filtracije. U ovom slučaju opću jednadžbu dobivamo iz zakona o održanju mase. Kad uvrstimo zakone ponašanja dobivamo jednadžbu filtracije

$$\frac{\partial{}\gamma\,\rho(u)}{\partial{}t} = {\rm div\,}(p\,{\rm grad\,}u) + f.$$

Za nestlačivu tekućinu $\rho$ je konstanta, pa bilo kakva derivacija od $\varphi$ iščezava. Nadalje, prema Darcyjevom zakonu filtracije (eksperimentalno utvrđenom) vrijedi

$$p = \frac{\rho\,\kappa}{\mu},$$

gdje je $\mu$ viskoznost tekućine, a $\kappa$ permeabilnost porozne sredine. Pod pretpostavkom da su i ove veličine konstantne, dobivamo, kao kod membrane, jednadžbu filtracije

$$p\,\Delta\,u + f = 0.$$

Izostanak derivacije tlaka $u$ po vremenu tumačimo tako da se tlak u nestlačivoj tekućini prenosi trenutno. Ovu jednadžbu možemo prepisati u obliku

$$-\Delta\,u = \frac{f}{p} = h.$$

Jednadžba oblika

$$\Delta\,u = g$$

se zove Poissonova jednadžba, a jednadžba

$$\Delta\,u = 0$$

Laplaceova jednadžba. Ravnotežna stanja membrane, provođenja i filtracija nestlačive tekućine se opisuju Poissonovom jednadžbom. Ako pri tom nije bilo vanjske sile, topline, mase, onda se ta stanja opisuju Laplaceovom jednadžbom. Poissonova jednadžba je linearna diferencijalna jednadžba, a Laplaceova je njoj pripadna homogena jednadžba. Tako možemo zaključiti da se skup svih rješenja Poissonove jednadžbe može dobiti tako da se jednom partikularnom rješenju Poissonove jednadžbe dodaju sva moguća rješenja Laplaceove jednadžbe. Funkcije koje rješavaju Laplaceovu jednadžbu se zovu harmonijske funkcije. Kad se radi o ravninskim problemima, onda se harmonijske funkcije pojavljuju kao realni i imaginarni dijelovi analitičkih funkcija. To pokazuje da se funkcije kompleksne varijable mogu koristiti kod ravninskih rubnih problema ili onih prostornih koji se mogu svesti na ravninske.