Zakon održanja.

Količina gibanja u jedinici vremena komada membrane $D$ jednaka je ukupnoj količini gibanja koja se po jedinici vremena izvana prenese na membranu, kroz rub i drukčije.^2.3

$$\frac{d}{dt}\,\iint_{D}\,\vec{\varphi}(x,y,t)\,dS = \int_{\partial D}\, \vec{\psi}(x,y,t;\vec{n})\,ds + \iint_{D}\,\vec{f}(x,y,t)\,dS.$$

Promatrat ćemo samo male transverzalne oscilacije, pa je tako

$$\vec{\varphi}(x,y,t) = \varphi(x,y,t)\,\vec{k},\hspace{1cm}\vec{u}(x,y,t) = u(x,y,t)\,\vec{k}.$$

Prvi zakon ponašanja kaže da je gustoća količine gibanja jednaka umnošku gustoće mase i brzine

$$\varphi(x,y,t) = \rho(x,y)\,\frac{\partial u(x,y,t)}{\partial t}.$$

Drugi zakon ponašanja se izvodi slično kao kod žice.

Vektorsko polje $\vec{\,\psi}(x,y,t;\vec{n})$ je tangencijalno na membranu i okomito na luk $\Gamma.$ Uzdužna komponenta kontaktne sile je, zbog pretpostavke o izotropnoj napetosti, uvijek okomita na rub, i po iznosu konstantna, pa nas interesira samo $\psi_z.$ Iz slike vidimo da je $\psi_z = p\,{\rm tg}\,\alpha.$ Zatim, iz geometrijske interpretacije derivacije slijedi ${\rm tg}\,\alpha = \frac{\partial u}{\partial\vec{n}},$ pa je $\psi_z = p\,\frac{\partial u}{\partial\vec{n}}.$

Također ćemo pretpostaviti da vanjska sila djeluje samo u smjeru okomitom na membranu, pa ćemo tako u daljnjem promatrati samo $\psi_z,f_z,$ i te veličine ćemo označavati s $\psi,f.$ Imamo dakle drugi zakon ponašanja

$$\psi = p\,\frac{\partial u}{\partial... ...frac{\partial u}{\partial x}\,n_x + \frac{\partial u}{\partial y}\,n_y\right),$$

Uvrstimo zakone ponašanja u zakon održanja i primijenimo Leibnizovo pravilo o deriviranju pod znakom integrala. Dobivamo

$$\iint_{D}\,\rho\,\frac{\partial^2 u}... ...,dS = \int_{\partial D}\, p\,{\rm grad\,}u\cdot \vec{n}\,ds + \iint_{D}\,f\,dS.$$

Na prvi integral na desnoj strani primijenimo teorem o divergenciji, pa imamo

$$\iint_{D}\,\rho\,\frac{\partial^2 u}... ...al t^2}\,dS = \iint_{D}\, p\,{\rm div\,}({\rm grad\,}u)\,dS + \iint_{D}\,f\,dS.$$

${\rm div\,}({\rm grad\,}u) = \Delta\,u,$ pa kad to uvrstimo, prebacimo sve na lijevu stranu i stavimo pod jedan integral, dobivamo

$$\iint_{D}\,\left[\rho\,\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - p\,\Delta\,u - f\right]\,dS = 0.$$

Budući da ova jednakost vrijedi za svaki komad membrane $D,$ slijedi

$$\rho\,\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - p\,\Delta\,u - f = 0,$$

tj.

$$\rho\,\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = p\,\Delta\,u + f.$$

Ova jednadžba se zove valna jednadžba. Ona opisuje male poprečne oscilacije izotropno napete membrane.

U slučaju da $p$ nije konstantno, dobili bismo jednadžbu

$$\rho\,\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = {\rm div\,}(p\,{\rm grad\,}u) + f$$

$$= {\rm grad\,}p\cdot{\rm grad\,}u + p\,\Delta\,u + f.$$