Oscilacije membrane

Membrana je tanka ploča od krutog materijala. Promatrat ćemo membranu napetu silama koje djeluju u ravnini membrane. Sila djeluje na luk krivulje koja je rub membrane. Zbog krutosti membrane, napetost uslijed te sile prenosi se u unutrašnjost, pa tako na svaki komad membrane $D$ djeluje napetost na rubu $\partial D.$ Tako, u svakoj točki $(x,y)$ membrane, i za svaki luk kroz točku $(x,y)$ imamo silu $\vec{\,p}$ po jedinici duljine luka, kojom jedan dio membrane djeluje na drugi dio. Njezino djelovanje je omogućeno isključivo kontaktom, i ona je paralelna s ravninom membrane. Pretpostavljamo, radi jednostavnosti, da napetost ne ovisi o vremenu. Osnovna pretpostavka je da je $\vec{\,p}$ isto za sve lukove kroz $(x,y),$ koji imaju zajednički jedinični vektor normale $\vec{\,n}$ u točki $(x,y)$ (Cauchyjev aksiom).

Tako $\vec{\,p}$ ovisi samo o točki i jediničnom vektoru normale u točki, tj. $\vec{\,p} = \vec{\,p}(x,y;\vec{\,n}).$ Ta ovisnost je linearna, pa prema tome, ako je

$$\vec{\,n} = n_x\,\vec{\imath}+ n_y\,\vec{\jmath},$$

onda vrijedi

$$\vec{\,p}(x,y;\vec{\,n}) = n_x\,\vec{\,p}(x,y;\vec{\imath}\,)+ n_y\,\vec{\,p}(x,y;\vec{\jmath}\,).$$ (2.42)

Prema tome napetost $\vec{p}$ je određena svojim djelovanjem na vektore $\vec{\imath},\vec{\jmath}.$ Linearna ovisnost $\vec{\,p}$ o vektoru normale omogućava da se napetost shvati kao linearno preslikavanje (linearni operator) i prema tome opiše matricom. Neka je

$$\vec{\,p}(x,y;\vec{\imath}\,) = p_{11}(x,y)\,\vec{\imath} + p_{21}(x,y)\,\vec{\jmath}$$ (2.43)

$$\vec{\,p}(x,y;\vec{\jmath}\,) = p_{12}(x,y)\,\vec{\imath} + p_{22}(x,y)\,\vec{\jmath}$$ (2.44)

Time je napetost u točki $(x,y)$ dana matricom

$${\cal P}(x,y) = \left[ \begin{array}{cc} p_{11}(x,y) & p_{12}(x,y) \\ p_{21}(x,y) & p_{22}(x,y) \end{array}\right].$$ (2.45)

Napetost u smjeru vektora $\vec{n}$ možemo izračunati tako da identificiramo radijvektore s vektorstupcima, i da zatim vektorstupac $\boldsymbol{n}$ pomnožimo matricom ${\cal P}$

$$\left[ \begin{array}{cc} p_{11}(x,... ... p_{12}(x,y)\,n_y \\ p_{21}(x,y)\,n_x + p_{22}(x,y)\,n_y \end{array}\right].$$

To isto se dobije, ako uvrstimo (2.45) i (2.46) u (2.44). Tako možemo pisati

$$\vec{\,p}(x,y;\vec{\,n}) = {\cal P}(x,y)\,\vec{\,n}(x,y).$$ (2.46)

Pretpostavljamo da je membrana homogena i izotropno napeta, što ima za posljedicu da napetost djeluje na rubu u smjeru vektora vanjske normale $\vec{\,n},$ tj.

$$\vec{\,p}(x,y) = p(x,y)\,\vec{\,n}(x,y).$$ (2.47)

U tom slučaju je matrica napetosti skalarna. Doista, iz (2.45), (2.46) i (2.49) slijedi

$$p_{11}(x,y) = \vec{\,p}(x,y;\vec{\imath}\,)\cdot \vec{\imath{}} = p(x,y)\,\vec{\imath{}}\cdot{}\vec{\imath{}} = p(x,y),$$

$$p_{21}(x,y) = \vec{\,p}(x,y;\vec{\imath}\,)\cdot \vec{\jmath{}} = p(x,y)\,\vec{\imath{}}\cdot{}\vec{\jmath{}} = 0.$$

Slično dobijemo $p_{12}(x,y) = 0,$ $p_{22}(x,y) = p(x,y).$ Dakle, u tom slučaju je

$${\cal P}(x,y) = \left[ \begin{array}{cc} p(x,y) & 0 \\ 0 & p(x,y) \end{array}\right]$$

Ako je membrana u ravnoteži, onda je svaki njezin dio $D$ u ravnoteži. To znači da ukupna sila na rubu $\partial{}D$ iščezava.

$$\int_{\partial D}\,\vec{\,p}\,ds = \int_{\partial D}\,p\,\vec{\,n}\,ds = \vec{\,0}.$$

Odatle

$$\int_{\partial D}\,p\,n_x\,ds = 0, \hspace{1cm}\int_{\partial D}\,p\,n_y\,ds = 0.$$ (2.48)

Teorem o divergenciji u $\mathbb{R}^2$ glasi

$$\int_{\partial D}\,\vec{a}\cdot \vec{n}\,ds = \iint_{D} {\rm div\,}\vec{a}\,dxdy,$$

gdje je $D$ područje u ravnini, $\partial{D{}}$ rub od $D{},$ koji je po dijelovima glatka krivulja koja samu sebe ne presijeca, $\vec{a}$ vektorsko polje klase $C^1$ na nekoj okolini od $D{},$ i $\vec{n}$ vektorsko polje vanjskih jediničnih normala na $\partial{D{}}.$

Specijalno, ako je $\vec{\,a}(x,y) = p(x,y)\,\vec{\imath},$ onda je

$$\int_{\partial D}\,p(x,y)\,n_x\,ds = \iint_{D}\frac{\partial p(x,y)}{\partial x}\,dxdy.$$ (2.49)

Slično

$$\int_{\partial D}\,p(x,y)\,n_y\,ds = \iint_{D}\frac{\partial p(x,y)}{\partial y}\,dxdy.$$ (2.50)

Ove formule se zovu Gaussove formule.

Dakle, po teoremu o divergenciji, iz (2.50) slijedi

$$\iint_{D}\frac{\partial p(x,y)}{\partial x}\,dxdy = \iint_{D}\frac{\partial p(x,y)}{\partial y}\,dxdy = 0.$$

To vrijedi za proizvoljni komad membrane $D$ (područje u $\Omega$), pa po osnovnoj lemi zaključujemo da je

$$\frac{\partial p(x,y)}{\partial x} = \frac{\partial p(x,y)}{\partial y} = 0$$

za svaki $(x,y) \in \Omega,$ pa je prema tome

$$p(x,y) = p =$$   konst.

Osnovnim stanjem membrane smatrat ćemo ravnotežno stanje napete membrane. Ako takvu membranu izvučemo iz položaja ravnoteže, ona se počne gibati (oscilirati, titrati). Vektorska polja koja su nam pri tom interesantna jesu

$\vec{u}\,(x,y,t)$ - progib membrane u točki $(x,y),$ u čas $t$ (polje pomaka),

$\vec{\varphi}\,(x,y,t)$ - količina gibanja membrane po jedinici površine, u točki $(x,y),$ u čas $t$ (površinska gustoća količine gibanja),

$\vec{\psi}\,(x,y,t;\vec{n})$ - količina gibanja, koja se u jedinici vremena prenese kroz jedinični luk izvana prema unutra (smjer suprotan smjeru jediničnog vektora vanjske normale $\vec{n}$) u točki $(x,y),$ u čas $t$ (linijska gustoća kontaktne sile),

$\vec{f}\,(x,y,t)$ - količina gibanja po jedinici površine, koja se u jedinici vremena izvana prenese na membranu u točki $(x,y),$ u čas $t$ (površinska gustoća vanjske sile).

Polje $\vec{u}(x,y,t)$ je kinematičko polje, a ostala tri polja su dinamička.