Na interaktivnoj slici 29 zadani su afinitet \({\small (o, X_1, X_2)}\) i pravac \({\small a_1}\). Treba konstruirati pravac \({\small a_2}\), afinu sliku pravca \({\small a_1}\).

Interaktivna slika 29

1. korak: Na pravcu \({\small a_1}\) odabrana je točka \({\small A_1}\) i konstruirana je njezina afina slika \({\small A_2}\) (kao na interaktivnoj slici 28).

2. korak: Pravac \({\small a_2}\), afina slika pravca \({\small a_1}\), prolazi točkom \({\small A_1}\) i sjecištem pravca \({\small a_1}\) i osi afinosti \({\small o}\).

  • Pomičite točku \({\small A_1}\) i uočite da slika \({\small a_2}\) ne ovisi o njezinu izboru.
  • Mijenjajte položaj odredbenih točaka \({\small X_1}\) i \({\small X_2}\) u odnosu na os, kao i njihov položaj prema točki \({\small A_1}\). Promatrajte promjene pravca \({\small a_2}\).
  • Pomičući točku \({\small Y}\) mijenjajte položaj pravca \({\small a_1}\). Uočite da konstrukcija ne ovisi o njegovu položaju, odnosno ta je konstrukcija dobra za bilo koji položaj pravca \({\small a_1}\).
  • Postavite točku \({\small Y}\) u položaj \({\small Z}\). Sada je pravac \({\small a_1}\) paralelan s osi.

U kakvom je položaju pravac \({\small a_2}\) i zašto?

  • Pomičite točku \({\small X}\) i mijenjajte smjer zraka afinosti (položaj beskonačno dalekog središta). Uočite da je konstrukcija valjana za svaki afinitet.

Za svaki je afinitet njegovo inverzno preslikavanje također afinitet. Stoga su i principi konstrukcije za afino preslikavanje polja s indeksom 1 u polje s indeksom 2 isti kao i za preslikavanje iz polja indeksa 2 u polje indeksa 1. To ćemo svojstvo iskoristiti u sljedeća dva primjera.

Na interaktivnoj slici 30 zadan je afinitet \({\small (o, X_1, X_2}\)) i par ukrštenih pravaca \({\small a_2}\), \({\small b_2}\) sa sjecištem u točki \({\small O_2}\). Treba konstruirati njihove afine slike \({\small a_1}\) i \({\small b_1}\).

Interaktivna slika 30

1. korak: Konstruirana je točka \({\small O_1}\), afina slika sjecišta \({\small O_2}\).

2. korak: Pravci \({\small a_1}\) i \({\small b_1}\) prolaze točkom \({\small O_1}\), a s pravcima \({\small a_2}\) i \({\small b_2}\) sijeku se na osi afinosti.

  • Pomičući točku \({\small O_2}\) mijenjajte položaj pravaca \({\small a_2}\) i \({\small b_2}\) te uočite da je konstrukcija valjana za svaki par ukrštenih pravaca.

- Uočite da je kut između pravaca \({\small a_1}\) i \({\small b_1}\) različit od kuta između pravaca \({\small a_2}\) i \({\small b_2}\).

  • U općem slučaju, perspektivna afinost ne čuva veličinu kuta između pravaca, tj. to preslikavanje nije konformno.

Na interaktivnoj slici 31 zadan je afinitet \({\small (o, X_1, X_2)}\) i par paralelnih pravaca \({\small a_2}\), \({\small b_2}\). Treba konstruirati njihove afine slike \({\small a_1}\) i \({\small b_1}\).

Interaktivna slika 31

1. korak: Odabrana je točka \({\small A_2\in a_2}\) i pomoću njezine afine slike \({\small A_1}\) konstruiran je pravac \({\small a_1}\), afina slika pravca \({\small a_2}\) (kao na interaktivnoj slici 29).

2. korak: Budući da je središte afiniteta beskonačno daleka točka kojom prolaze sve zrake afinosti, bit će i beskonačno daleki pravac neke ravnine zraka svakog afiniteta u toj ravnini. Zato se pri svakom afinitetu beskonačno daleke točke preslikavaju u beskonačno daleke točke.

Dakle, točka \({\small O_2^\infty}\) (beskonačno daleka točka pravca \({\small a_2}\)) zadanim se afinitetom preslikava u točku \({\small O_1^\infty}\) - beskonačno daleku točku pravca \({\small a_1}\). Stoga je pravac \({\small b_1}\) paralelan s pravcem \({\small a_1}\).

  • Provjerite konstrukciju preko para pridruženih točaka \({\small B_1\in b_1}\), \({\small B_2\in b_2}\).
  • Pomičite točku \({\small H}\) i mijenjajte smjer pravaca \({\small a_2}\) i \({\small b_2}\).
  • Paralelni se pravci preslikavaju u paralelne pravce. Kažemo da perspektivna afinost čuva paralelnost pravaca, odnosno da je paralelnost invarijanta\(^*\) tog preslikavanja.

\(^*\) Ona svojstva figura koja ostaju sačuvana pri nekom preslikavanju nazivamo invarijantama tog preslikavanja.