Rješavanje rubnih problema pomoću Greenove funkcije

Ako u točki $\xi$ na žicu djeluje koncentrirana sila $f=f(\xi)$ umjesto jedinične sile, onda je rješenje (progib)

$$u(x) = f(\xi)\,G(x,\xi).$$

Ako na žicu djeluje više koncentriranih sila $f_1(\xi_1),f_2(\xi_2),\ldots,f_n(\xi_n)$ u točkama $\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_n,$

onda je rješenje

$$u(x) = f(\xi_1)\,G(x,\xi_1)+f(\xi_2)\,G(x,\xi_2)+\cdots +f(\xi_n)\,G(x,\xi_n)$$

$$= \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\,G(x,\xi_i).$$

Konačno, ako vanjska sila nije koncentrirana, već je zadana kao linearna gustoća sile, tj. ako imamo na pr. rubni problem

$$(p\,u')' - q\,u + f = 0,\hspace{1cm}u(0) = u(\ell{}) = 0,$$

onda podijelimo segment $[0,\ell{}]$ na $n$ podsegmenata

$$0 = \xi_0 < \xi_1 < \xi_2 < \ldots{} < \xi_{n-1} < \xi_n = \ell,$$

uzmemo proizvoljne točke $\tau_i$ u tim segmentima, i umjesto zadane sile uzmemo koncentriranu silu $f(\tau_i)\Delta\,\xi_i$ u točki $\tau_i.$

Približno rješenje je

$$u(x) \approx \sum_{i=1}^n G(x,\tau_i)\,f(\tau_i)\,\Delta\,\xi_i.$$

Na desnoj strani imamo integralnu sumu za funkciju $G(x,\xi)f(\xi)$ u odnosu na varijablu $\xi.$ Kad podjelu sve više profinjujemo, integralna suma teži prema integralu, pa je rješenje

$$u(x) = \int_0^{\ell}\,G(x,\xi)\,f(\xi)\,d\xi.$$ (2.15)

Iz formule (2.16) se vidi da su u Greenovoj funkciji sadržane informacije o pripadnoj homogenoj diferencijalnoj jednadžbi i o danim rubnim uvjetima.

Kako Greenova funkcija ima različite formule ovisno o tome da li se $\xi$ nalazi ispred $x$ ili iza, integral treba rastaviti na dva dijela, od 0 do $x$ i od $x$ do $\ell.$

$$u(x) = \int_0^{\ell}\,G(x,\xi)\,f(\xi)\,d\xi$$

$$= \int_0^x \frac{-u_1(\xi)}{p(\xi)\,W(\xi)}\,u_2(x)\,f(\xi)\,d\xi + \int_x^{\ell} \frac{-u_2(\xi)}{p(\xi)\,W(\xi)}\,u_1(x)\,f(\xi)\,d\xi.$$

Integrira se po $\xi,$ pa $u_1(x)$ i $u_2(x)$ smijemo izlučiti. Tako imamo konačnu formulu

$$u(x) = -u_1(x)\!\int_x^{\ell}\! \frac{u_2(\xi)}{p(\xi)W(\xi)}f(\xi)d\xi - u_2(x)\!\int_0^x\! \frac{u_1(\xi)}{p(\xi)W(\xi)}f(\xi)d\xi.$$ (2.16)

Dakle, kad želimo riješiti neki rubni problem pomoću Greenove funkcije, dovoljno je naći dva linearno nezavisna rješenja $u_1$ i $u_2$ pripadne homogene jednadžbe, takva da $u_1$ zadovoljava homogeni uvjet na lijevom rubu, a $u_2$ na desnom rubu. Zatim treba izračunati determinantu $W,$ i uvrstiti u formulu (2.17).

Primjer 2.9   Riješiti, pomoću Greenove formule, rubni problem

$$p\,u''(x) = x^2,\hspace{1cm}u(0) = u(\ell{}) = 0.$$

Rješenje. Najprije treba primijetiti da je

$$f(x) = -x^2.$$

Opće rješenje pripadne homogene jednadžbe je

$$u(x) = A\,x + B.$$

Najjednostavnija ovakva funkcija, koja zadovoljava uvjet $u(0)=0,$ je

$$u_1(x) = x,$$

ona koja zadovoljava uvjet $u(\ell{}) = 0$ je

$$u_2(x) = \ell - x.$$

Nadalje imamo

$$W(x)=\left\vert \begin{array}{ll} x & \ell{}-x \\ 1 & -1 \end{array}\right\vert = -\ell{}.$$

Uvrstimo u (2.17)

$$u(x) = x\,\int_x^{\ell} \frac{\ell - \xi}{p\,\ell}\,\xi^2\,d\xi +... ...c{\xi}{p\,\ell}\,\xi^2\,d\xi = \frac{x\,\left( x^3 - {\ell}^3 \right) }{12\,p}.$$

Ova funkcija očito zadovoljava rubne uvjete, a nakon uvrštavanja, lako provjerimo da zadovoljava i jednadžbu.

Primijetimo također da za nalaženje funkcija $u_1,u_2,W$ uopće nije bilo važno koliki je $f.$ Funkcija $f$ se uvrsti tek na kraju u formulu. Prema tome, kad jednom nađemo $u_1,u_2,W,$ umetanjem u formulu raznih funkcija $f$ rješavamo svaki mogući nehomogeni problem.