next up previous contents index
Next: Fourierova metoda Up: Greenova funkcija Previous: Računanje Greenove funkcije   Sadržaj   Indeks

Rješavanje rubnih problema pomoću Greenove funkcije

Ako u točki $ \xi$ na žicu djeluje koncentrirana sila $ f=f(\xi)$ umjesto jedinične sile, onda je rješenje (progib)

$\displaystyle u(x) = f(\xi)\,G(x,\xi).$

Ako na žicu djeluje više koncentriranih sila $ f_1(\xi_1),f_2(\xi_2),\ldots,f_n(\xi_n)$ u točkama $ \xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_n,$
\includegraphics{m3koncdjel4.eps}
onda je rješenje

$\displaystyle u(x) = f(\xi_1)\,G(x,\xi_1)+f(\xi_2)\,G(x,\xi_2)+\cdots
+f(\xi_n)\,G(x,\xi_n)$

$\displaystyle = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\,G(x,\xi_i).$

Konačno, ako vanjska sila nije koncentrirana, već je zadana kao linearna gustoća sile, tj. ako imamo na pr. rubni problem

$\displaystyle (p\,u')' - q\,u + f = 0,\hspace{1cm}u(0) = u(\ell{}) = 0,$

onda podijelimo segment $ [0,\ell{}]$ na $ n$ podsegmenata

$\displaystyle 0 = \xi_0 < \xi_1 < \xi_2 < \ldots{} < \xi_{n-1} < \xi_n = \ell,$

uzmemo proizvoljne točke $ \tau_i$ u tim segmentima, i umjesto zadane sile uzmemo koncentriranu silu $ f(\tau_i)\Delta\,\xi_i$ u točki $ \tau_i.$
\includegraphics{m3koncdjel5.eps}
Približno rješenje je

% latex2html id marker 34735
$\displaystyle u(x) \approx \sum_{i=1}^n G(x,\tau_i)\,f(\tau_i)\,\Delta\,\xi_i.$

Na desnoj strani imamo integralnu sumu za funkciju $ G(x,\xi)f(\xi)$ u odnosu na varijablu $ \xi.$ Kad podjelu sve više profinjujemo, integralna suma teži prema integralu, pa je rješenje

$\displaystyle u(x) = \int_0^{\ell}\,G(x,\xi)\,f(\xi)\,d\xi.$ (2.15)

Iz formule (2.16) se vidi da su u Greenovoj funkciji sadržane informacije o pripadnoj homogenoj diferencijalnoj jednadžbi i o danim rubnim uvjetima.

Kako Greenova funkcija ima različite formule ovisno o tome da li se $ \xi$ nalazi ispred $ x$ ili iza, integral treba rastaviti na dva dijela, od 0 do $ x$ i od $ x$ do $ \ell.$

$\displaystyle u(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_0^{\ell}\,G(x,\xi)\,f(\xi)\,d\xi$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_0^x \frac{-u_1(\xi)}{p(\xi)\,W(\xi)}\,u_2(x)\,f(\xi)\,d\xi
+ \int_x^{\ell} \frac{-u_2(\xi)}{p(\xi)\,W(\xi)}\,u_1(x)\,f(\xi)\,d\xi.$  

Integrira se po $ \xi,$ pa $ u_1(x)$ i $ u_2(x)$ smijemo izlučiti. Tako imamo konačnu formulu

$\displaystyle u(x) = -u_1(x)\!\int_x^{\ell}\! \frac{u_2(\xi)}{p(\xi)W(\xi)}f(\xi)d\xi - u_2(x)\!\int_0^x\! \frac{u_1(\xi)}{p(\xi)W(\xi)}f(\xi)d\xi.$ (2.16)

Dakle, kad želimo riješiti neki rubni problem pomoću Greenove funkcije, dovoljno je naći dva linearno nezavisna rješenja $ u_1$ i $ u_2$ pripadne homogene jednadžbe, takva da $ u_1$ zadovoljava homogeni uvjet na lijevom rubu, a $ u_2$ na desnom rubu. Zatim treba izračunati determinantu $ W,$ i uvrstiti u formulu (2.17).

Primjer 2.9   Riješiti, pomoću Greenove formule, rubni problem

$\displaystyle p\,u''(x) = x^2,\hspace{1cm}u(0) = u(\ell{}) = 0.$

Rješenje. Najprije treba primijetiti da je

$\displaystyle f(x) = -x^2.$

Opće rješenje pripadne homogene jednadžbe je

$\displaystyle u(x) = A\,x + B.$

Najjednostavnija ovakva funkcija, koja zadovoljava uvjet $ u(0)=0,$ je

$\displaystyle u_1(x) = x,$

ona koja zadovoljava uvjet $ u(\ell{}) = 0$ je

$\displaystyle u_2(x) = \ell - x.$

Nadalje imamo

% latex2html id marker 34798
$\displaystyle W(x)=\left\vert
\begin{array}{ll}
x & \ell{}-x \\
1 & -1
\end{array}\right\vert = -\ell{}.$

Uvrstimo u (2.17)

$\displaystyle u(x) = x\,\int_x^{\ell} \frac{\ell - \xi}{p\,\ell}\,\xi^2\,d\xi +...
...c{\xi}{p\,\ell}\,\xi^2\,d\xi =
\frac{x\,\left( x^3 - {\ell}^3 \right) }{12\,p}.$

Ova funkcija očito zadovoljava rubne uvjete, a nakon uvrštavanja, lako provjerimo da zadovoljava i jednadžbu.
% latex2html id marker 16455
\includegraphics{m3koncdjelpr.eps}

Primijetimo također da za nalaženje funkcija $ u_1,u_2,W$ uopće nije bilo važno koliki je $ f.$ Funkcija $ f$ se uvrsti tek na kraju u formulu. Prema tome, kad jednom nađemo $ u_1,u_2,W,$ umetanjem u formulu raznih funkcija $ f$ rješavamo svaki mogući nehomogeni problem.


next up previous contents index
Next: Fourierova metoda Up: Greenova funkcija Previous: Računanje Greenove funkcije   Sadržaj   Indeks
2001-10-26