Svođenje na jednu jednadžbu višeg reda

Jedna od metoda se sastoji u tome da se višestrukim deriviranjem jednadžbi izbace sve nepoznate funkcije osim jedne. Na taj način dolazimo do jedne linearne diferencijalne jednadžbe $n$-tog reda, koju zatim rješavamo poznatim metodama.

Primjer 1.29   Treba naći opće rješenje sustava

$$y'(x) = -2\,y(x)-4\,z(x)+1+4\,x$$

$$z'(x) = -y(x)+z(x) + \frac{3}{2}\,x^2.$$ (1.12)

Rješenje.

$$y''(x)=-2\,y'(x)-4\,z'(x)+4.$$ (1.13)

Iz prve jednadžbe izračunamo $z(x)$, uvrstimo u drugu i zatim $z'(x)$ iz druge uvrstimo u (1.13). Dobivamo

$$y''(x)+y'(x)-6\,y(x)=-6\,x^2-4\,x+3.$$

Opće rješenje ove jednadžbe je

$$y(x)=C_1\,e^{2x}+C_2\,e^{-3x}+x+x^2.$$

Uvrštavanjem u prvu jednadžbu možemo naći $z$:

$$z(x)=-C_1\,e^{2x}+\frac{1}{4}\,C_2\,e^{-3x}-\frac{1}{2}\,x^2.$$

Dakle

$$% latex2html id marker 33025 \left[ \begin{array}{c} y(x)... ...array}{c} x+x^2 \\ -\frac{1}{2} x^2 \end{array} \right],$$

pa vidimo da je

$$% latex2html id marker 33027 \boldsymbol{u}_1=e^{2x}\,\left[... ...\begin{array}{r} 1 \\ -\frac{1}{2} \end{array} \right].$$

Specijalno, ako je početni uvjet

$$y(0) = 1, \qquad z(0) = 0,$$

uvrštavanjem u opće rješenje dobivamo

$$C_1 = \frac{1}{5}, \qquad C_2 = \frac{4}{5},$$

i prema tome rješenje je

$$y(x)=\frac{1}{5}\,e^{2x}+\frac{4}{5}\,e^{-3x}+x+x^2, \quad z(x)= -\frac{1}{5}\,e^{2x} +\frac{1}{5}\,e^{-3x}-\frac{1}{2}\,x^2.$$

To rješenje vidimo na sljedećoj slici

Slika 1.28: Rješenje sustava diferencijalnih jednadžbi, uz zadani početni uvjet.