Primjer 1.26
Neka su dvije mase spojene oprugama za fiksnu točku kao na slici
1.27.
Slika 1.27:
Sustav od dva harmonijska oscilatora: a) ravnotežni položaj, b) u nekom trenutku
|
Ako zanemarimo otpor sredstva i težinu, onda za male oscilacije (u okviru
kojih vrijedi Hookeov zakon) imamo
Brojevi
i
su pozitivni i oni karakteriziraju opruge.
Oscilacije ovog sistema će biti potpuno zadane ako definiramo u čas
početne položaje i početne brzine:
Stavimo
. Dobivamo sustav diferencijalnih
jednadžbi
uz početni uvjet
Osim što ovaj primjer pokazuje kako modeliranje konkretnog fizikalnog
problema dovodi do sustava diferencijalnih jednadžbi, on pokazuje također
kako se sustav u kojem se pojavljuju derivacije višeg reda može svesti na
sustav u kojem dolaze samo prve derivacije. Cijena za to je povećanje broja
jednadžbi, no to pokazuje da se možemo ograničiti na razmatranje sustava u
kojima dolaze samo prve derivacije.
Primjer 1.27
Dajmo jedan općenitiji primjer. Neka je fizikalni sustav
u
nekom vremenskom trenutku
u potpunosti zadan s
veličina,
koje opisujemo kao funkcije vremena
Pretpostavimo zatim da brzina promjene tih veličina ovisi
samo o njima samima. To se matematički izražava ovako
Ponašanje sustava
ovisi
još o stanju u kojem se nalazi u početnom trenutku. To zadajemo
početnim uvjetom za svaku veličinu
Posebno interesantne su one vrijednosti
za koje je
Tada je
brzina promjene veličina
jednaka je nuli, pa se sustav
nalazi u ravnoteži. Pitanje je da li je ta ravnoteža stabilna. To
ispitujemo na taj način da sustav
pomaknemo malo iz položaja
ravnoteže i ustanovimo što se događa. Stavimo
i uvrstimo u
diferencijalne jednadžbe
Uz
dodatni uvjet da funkcije
imaju neprekidne derivacije,
možemo primijeniti teorem srednje vrijednosti
gdje je
stanje sustava između
stanja
i
Budući da su pomaci iz
ravnotežnog stanja maleni, možemo umjesto
staviti
Uzimajući u obzir
imamo
gdje je