Kronecker-Capellijev teorem

Teorem 7   (Kronecker-Capelli). Sustav linearnih algebarskih jednadžbi ima bar jedno rješenje, ako i samo ako je rang matrice sustava jednak rangu proširene matrice sustava.

Dokaz. Sustav

$$a_{11}\,x_1+a_{12}\,x_2+\cdots+a_{1n}\,x_n = b_1$$

$$a_{21}\,x_1+a_{22}\,x_2+\cdots +a_{2n}\,x_n = b_2$$

$$\cdots$$

$$a_{m1}\,x_1+a_{m2}\,x_2+\cdots +a_{mn}\,x_n = b_m$$

možemo shvatiti kao jednakost dva vektorstupca

$$\left[ \begin{array}{c} a_{11}\,x_1... ...t[ \begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{array} \right],$$

što se može napisati i ovako

$$x_1\left[ \begin{array}{c} a_{11} \... ...t[ \begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{array} \right].$$

Na ovaj način zapisani sustav pokazuje da postoji rješenje sustava, ako i samo ako se desna strana može prikazati kao linearna kombinacija stupaca matrice sustava. U tom slučaju je desna strana linearno zavisna od stupaca matrice sustava, tj. rang proširene matrice sustava jednak je rangu matrice sustava. Iz ovog zapisa se vidi da je svaka uređena $n$-torka koeficijenata linearne kombinacije koja daje desnu stranu rješenje sustava. $\heartsuit$

Iz zapisa sustava kao u dokazu teorema se vidi još nešto. Ako sustav ima rješenja i ako su stupci matrice sustava $A$ linearno nezavisni, onda se desna strana može napisati kao linearna kombinacija stupaca matrice $A$ i to na jedinstven način (dokaz jedinstvenosti kao kod dokaza jedinstvenosti prikaza vektora u bazi: teorem 2). U tom slučaju koeficijenti linearne kombinacije čine rješenje i to jedinstveno.

Primjer 1.17   Neka je dan sustav

$$5x_1\qquad + 4x_3 = 3$$

$$x_1- x_2+ 2x_3 = 1$$

$$x_1+ 4x_2+ 2x_3 = 1.$$

Stupci matrice sustava su vektori

$$\boldsymbol{a}_{\cdot\, 1} = \left[... ...ol{a}_{\cdot\, 3} = \left[\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right].$$

Oni su linearno nezavisni, ima ih tri, i kako su duljine tri, prema teoremu 3 oni čine bazu u vektorskom prostoru radijvektora u prostoru. Prema tome (v. teorem 2), vektor desne strane

$$\boldsymbol{b}= \left[\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]$$

se može na jedinstven način prikazati kao linearna kombinacija vektora $\boldsymbol{a}_{\cdot\, 1},$ $\boldsymbol{a}_{\cdot\, 2},$ $\boldsymbol{a}_{\cdot\, 3}.$ Rješenje sustava je uređena trojka koeficijenata linearne kombinacije. Kako je

$$\frac{1}{3}\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, 1} + 0\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, 2} + \frac{1}{3}\,\boldsymbol{a}_{\cdot\, 3} = \boldsymbol{b},$$

rješenje sustava je $x_1=\frac{1}{3},x_2=0,x_3=\frac{1}{3}.$

Ako desna strana linearno zavisi od stupaca matrice sustava, i ako su stupci matrice $A$ linearno zavisni, onda se desna strana može na više načina prikazati kao linearna kombinacija stupaca matrice. U tom slučaju postoje brojevi $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n,$ od kojih je bar jedan različit od nule, tako da je

$$\lambda_1\,\boldsymbol{a}_{\cdot\,1}+\lambda_2\,\boldsymbol{a}_{\cdot\,2}+\cdots+\lambda_k\,\boldsymbol{a}_{\cdot\,n}=\textbf{0},$$

pa je

$$\boldsymbol{b} = x_1\,\boldsymbol{a}_{\cdot\,1} + x_2\,\boldsymbol{a}_{\cdot\,2} +... ...mbda_2\,\boldsymbol{a}_{\cdot\,2} + \cdots+\lambda_n\,\boldsymbol{a}_{\cdot\,n}$$

$$= (x_1 + \lambda_1)\,\boldsymbol{a}_{\cdot\,1} + (x_2 + \lambda_2)\... ...ldsymbol{a}_{\cdot\,2} + \cdots + (x_n + \lambda_n)\,\boldsymbol{a}_{\cdot\,n}.$$

Tako imamo više rješenja.

Primjer 1.18   Neka je dan sustav

$$5x_1\qquad + 4x_3 = 1$$

$$x_1- x_2+ 2x_3 = 1$$

$$2x_1+ 3x_2- 2x_3 = -2.$$

Stupci matrice sustava su linearno zavisni. Ipak njihova linearna kombinacija s koeficijentima $1,-2,-1$ daje desnu stranu. Međutim to nije jedina linearna kombinacija koja daje desnu stranu. Desnu stranu daju također linearne kombinacije s koeficijentima $\frac{1}{5} - \frac{4}{5}\,t, -\frac{4}{5} + \frac{6}{5}\,t,t$ za bilo koji $t\in \mathbb{R},$ što se lako može provjeriti.

Konačno, ako desna strana nije linearno zavisna od stupaca matrice, onda ne postoji linearna kombinacija stupaca matrice $A$ koja bi dala desnu stranu, pa je sustav nekonzistentan.

Primjer 1.19   Neka je dan sustav

$$5x_1\qquad + 4x_3 = 1$$

$$x_1- x_2+ 2x_3 = 5$$

$$2x_1+ 3x_2- 2x_3 = 2.$$

Stupci matrice sustava su linearno zavisni. Na pr. treći stupac je linearna kombinacija prva dva s koeficijentima $\frac{4}{5}, -\frac{6}{5}.$ Prema tome skup svih vektora koji su linearne kombinacije sva tri stupca matrice sustava (vektorski prostor razapet sa stupcima matrice) se podudara sa skupom svih vektora koji su linearne kombinacije samo prva dva stupca matrice sustava (vektorski prostor razapet s prva dva stupca). Ako vektorstupce identificiramo s radijvektorima, onda to znači da prva dva stupca (radijvektora) razapinju u prostoru ravninu (zapravo dvodimenzionalni vektorski prostor radijvektora, koji se nalaze u prostoru, ali leže u jednoj ravnini). Ne postoji takva linearna kombinacija prva dva stupca koja daje desnu stranu. To znači da pripadni radijvektor (desne strane) ne leži u ravnini razapetoj s radijvektorima prva dva stupca. Da bismo se u to uvjerili, nađimo jednadžbu ravnine razapete s prva dva stupca. Radijvektori mogu razapinjati samo ravnine kroz ishodište, pa je $(0,0,0)$ točka kojom prolazi ravnina. Zatim, vektor normale je vektorski produkt vektora koji razapinju ravninu, dakle

$$\vec{n} = \boldsymbol{a}_{\cdot\, 1}\times\boldsymbol{a}_{\cdot\, 2} = \vec{\imath} - 3\,\vec{\jmath} - \vec{k}.$$

Prema tome jednadžba ravnine je

$$x - 3\,y - z = 0.$$

Samo ona desna strana (koordinate točke u prostoru, vrh radijvektora u prostoru) koja zadovoljava ovu jednadžbu, jeste nekakva linearna kombinacija stupaca matrice sustava. Lako se vidi da desna strana u ovom primjeru ne zadovoljava jednadžbu ravnine, dok je desna strana iz primjera 1.18 zadovoljava.