Inverzna matrica

Primijetimo najprije da je u dokazu teorema 4 korišteno samo svojstvo regularnosti matrice $T,$ tako da teorem vrijedi i u slučaju da je $T$ bilo koja regularna matrica. Budući da za regularnu kvadratnu matricu $A$ vrijedi $A^{-1}A=I,$ i da množenje s regularnom matricom $A^{-1}$ ne mijenja rang (broj linearno nezavisnih redaka ili stupaca), slijedi da su stupci (reci) regularne matrice linearno nezavisni. Također vrijedi i obrat. Ako su stupci (reci) kvadratne matrice linearno nezavisni, onda je matrica regularna. Dakle, vrijedi sljedeća tvrdnja.

Teorem 6   Neka je dana kvadratna matrica $A\in{\cal M}_{n}.$ Tada vrijedi sljedeće.

1. Ako su stupci (reci) matrice $A$ linearno nezavisni, onda je $A$ regularna matrica.
2. Ako je $A$ regularna matrica, onda su stupci (reci) matrice $A$ linearno nezavisni.

Neka je $A$ kvadratna regularna matrica. Gauss-Jordanovom metodom, odnosno množenjem s lijeva s elementarnim matricama $Q_1,Q_2,\ldots,Q_k$ svedemo $A$ na $I$

$$Q_1\,Q_2\,\cdots\,Q_k\,A =I.$$

Tada je $Q_1Q_2\cdots Q_k=A^{-1},$ i prema tome

$$Q_1Q_2\cdots Q_k\left[ \begin{array}... ...k \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{cc} I & A^{-1} \end{array} \right].$$

Ova formula nam daje postupak za invertiranje matrice. Taj postupak se sastoji u tome da formiramo pravokutnu matricu tako da matrici $A$ dodamo jediničnu matricu $I$ istog reda, i zatim elementarnim operacijama nad recima prvi dio pravokutne matrice (onaj gdje se prvobitno nalazila matrica $A$) svedemo na jediničnu matricu. U drugom dijelu pravokutne matrice se tada nalazi $A^{-1}.$

Primjer 1.16   Treba invertirati matricu

$$A=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 1 &... ...\\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{array} \right].$$

Rješenje.

$$\left[\begin{array}{rrrrrrrr} 1 & 1... ... 2 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$$

$$\sim\left[\begin{array}{rrrrrrrr} 1... ... 1 & 1 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right]$$

$$\sim\left[\begin{array}{rrrrrrrr} 1... ...1 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right]$$

$$\sim\left[\begin{array}{rrrrrrrr} 1... ... & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right].$$

Odatle

$$A^{-1}=\left[\begin{array}{rrrr} 2 ... ... -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right].$$

Množenjem se lako može provjeriti da je to doista inverzna matrica matrice $A.$