Teorem 5
(Teorem o rangu).
Broj linearno nezavisnih redaka proizvoljne matrice
tipa
jednak je broju njezinih linearno nezavisnih stupaca. Taj broj se
zove
rang
matrice , i označava se sa
Dokaz. Množeći matricu
dovoljan (konačan) broj puta s lijeva i s desna s odgovarajućim
elementernim matricama, matrica se može svesti na oblik
gdje je broj jedinica. Stupci (reci) u
kojima se pojavljuju jedinice su
linearno nezavisni. Dokaz je isti kao dokaz linearne nezavisnosti
kanonske baze (primjer 1.7). Ako tim stupcima
(recima) dodamo stupac (redak) sastavljen od samih nula, stupci
(reci) će postati linearno zavisni, jer množeći taj stupac
(redak) s a druge s nulom, dobivamo nulstupac (nulredak).
Tako imamo linearno nezavisnih stupaca i također linearno
nezavisnih redaka. Time smo dokazali teorem o rangu.
Dokazom ovog teorema smo ujedno dobili metodu za ispitivanje ranga
matrice. Treba elementarnim operacijama svesti matricu na oblik kao u
dokazu teorema, i zatim očitati broj jedinica na dijagonali.
Primjer 1.15
Odrediti rang slijedeće matrice u ovisnosti o
Rješenje. Najprije zamjenom redaka i stupaca imamo
Sada množenjem prvog retka redom s
i
i dodavanjem trećem i
četvrtom retku dobivamo
Množenjem prvog stupca s odgovarajućim brojevima i dodavanjem
ostalim stupcima možemo u prvom retku dobiti same nule. Budući da su
u ostalim recima prvog stupca nule, to neće imati nikakvog utjecaja
na elemente u ostalim recima. Zato smijemo jednostavno u prvom retku
upisati nule. Zatim pomnožimo četvrti redak redom s
i s
i
dodamo drugom i trećem retku. Nakon toga četvrti redak preselimo na
mjesto drugog.
Sada s drugim stupcem možemo anulirati elemente u drugom retku, a da
se ništa drugo ne promijeni. Tako imamo konačno
Korijeni polinoma
su
Prema tome, ako je
rang je
ako je
rang je
ako je
rang je
Važna napomena: kad se vrše elementarne transformacije nad matricom
u kojoj ima parametara čiju točnu vrijednost ne znamo, treba paziti
da su operacije koje vršimo korektne, bez obzira na to koju stvarnu
vrijednost ima parametar. Na pr. ne smijemo dijeliti redak (stupac) s
jer to može biti nula.