Galerkinova metoda

Galerkinova metoda ili preciznije metoda Bubnova-Galerkina osniva se na sljedećoj jednostavnoj činjenici. Neka je dan vektorski prostor $V,$ baza $\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\ldots,\boldsymbol{v}_n,\ldots$ u $V$ i skalarni produkt u $V.$ Tada je $\boldsymbol{x}\in V$ nulvektor, ako i samo ako je $\boldsymbol{x}$ okomit na $\boldsymbol{v}_i$ za svaki $i.$ Ta tvrdnja je jasna, ako za $V$ uzmemo vektorski prostor radijvektora u prostoru ili ravnini.

Ono što nas zanima je rubni problem, na pr.

$$(p\,u')' + f = 0,\hspace{1cm}u(0)=a,\quad u'(\ell)=b.$$

Rješenje tražimo u skupu $D$ funkcija koje su klase $C^2([0,\ell]),$ i koje zadovoljavaju rubne uvjete. Taj skup nije vektorski prostor, jer linearne kombinacije takvih funkcija više ne zadovoljavaju ove rubne uvjete. Međutim, ako su rubni uvjeti homogeni, onda skup $D$ jeste vektorski prostor. Homogenizacijom rubnih uvjeta možemo svaki rubni problem svesti na problem s homogenim uvjetima.

Promatrajmo dakle rubni problem

$$(p\,u')' + f = 0,\hspace{1cm}u(0)=0,\quad u'(\ell)=0.$$

U skupu $D,$ koji je sada vektorski prostor, definirajmo skalarni produkt

$$u\cdot{}v = \int_0^{\ell}\,u(x)\,v(x)\,dx.$$

Izaberimo u $D$ linearno nezavisne funkcije

$$v_1,v_2,v_3,\ldots$$

tako da čine bazu u $D.$ U pravilu funkcija $v_i$ ima beskonačno mnogo. Neka je $u$ rješenje rubnog problema. Tada je $u \in D,$ i prema tome postoje brojevi $c_1,c_2,c_3,\ldots$ takvi da je

$$u(x) = \sum_{i=1}^{\infty} c_i\,v_i(x).$$

U diferencijalnoj jednadžbi rubnog problema, funkcija $(p\,u')' + f$ je jednaka nulfunkciji. To možemo na drugi način iskazati tako da zahtijevamo da je funkcija $(p\,u')' + f$ okomita na $v_i$ za svaki $i,$ pa nepoznati koeficijenti $c_i$ moraju zadovoljavati sljedeće jednadžbe

$$\int_0^{\ell}\,\left[\left(p(x)\,\left(\sum_{i=1}^{\infty} c_i\,v_i(x)\right)'\right)' + f(x)\right]\,v_j(x)\,dx = 0,\qquad j=1,2,3,\ldots\ .$$

Problem je u tome što je to beskonačno mnogo jednadžbi s beskonačno mnogo nepoznanica. Zato uzmemo konačno mnogo funkcija iz baze

$$v_1,v_2,\ldots,v_n,$$

i rješenje pretpostavimo u obliku

$$u_n = c_1\,v_1+c_2\,v_2+\ldots+c_n\,v_n = \sum_{j=1}^n c_j\,v_j,$$

Nepoznate koeficijente $c_1,c_2,\ldots,c_n$ određujemo iz sustava jednadžbi

$$\int_0^{\ell}\,\left[\left(p(x)\,\left(\sum_{j=1}^n c_j\,v_j(x)\right)'\right)' + f(x)\right]\,v_i(x)\,dx = 0,\qquad i=1,2,3,\ldots,n.$$

Ovaj sustav jednadžbi možemo prepisati u obliku

$$-\sum_{j=1}^n\,c_j\,\int_0^{\ell}\,\left(p(x)\,v'_j(x)\right)'\,v_i(x)\,dx = \int_0^{\ell}\,f(x)\,v_i(x)\,dx,\qquad i=1,2,3,\ldots,n.$$

Stavimo

$$K_{i\,j} = -\int_0^{\ell}\,\left(p(x)\,v'_j(x)\right)'\,v_i(x)\,dx,\qquad b_i = \int_0^{\ell}\,f(x)\,v_i(x)\,dx.$$

Tada sustav poprima oblik

$$\sum_{j=1}^n\,K_{i\,j}\,c_j = b_i,\qquad i=1,2,3,\ldots,n,$$

odnosno matrično

$$K\,\boldsymbol{c} = \boldsymbol{b},$$ (3.33)

gdje je $K = [K_{ij}],\; \boldsymbol{c}=[c_j],\; \boldsymbol{b}=[b_i].$

U ovom slučaju se u formuli za $K_{ij}$ može jednom parcijalno integrirati pa, uzevši u obzir rubne uvjete, imamo

$$K_{i\,j} = - \left. p(x)\,v'_j(x)\,v_i(x)\right\vert _0^{\ell} + ... ...\ell}\, p(x)\,v'_j(x)\,v'_i(x)\,dx = \int_0^{\ell}\,p(x)\,v'_j(x)\,v'_i(x)\,dx.$$

Na taj način sustav jednadžbi (3.34) postaje identičan onome kod Ritzove metode. To se događa ako rubni problem ispunjava određene uvjete, o čemu ovdje nećemo detaljnije govoriti.

Istaknimo ovdje bitnu razliku u ideji između Ritzove i Galerkinove metode. Nužan uvjet za primjenu Ritzove metode je bila egzistencija varijacijske formulacije rubnog problema u kojoj se pojavljuje funkcional energije, dok za Galerkinovu metodu to uopće nije važno. Formalno, Galerkinova metoda se može primijeniti uvijek, pa i u slučaju nelinearnih rubnih problema. Tada sustav jednadžbi koji dobijemo nije više linearan.