Eulerova metoda

Neka je dana diferencijalna jednadžba

$$y' = f(x,y),$$

na segmentu $[a,b]$ uz početni uvjet $y(a)=\alpha.$

Na temelju Taylorovog teorema srednje vrijednosti imamo

$$y_{i+1} = y(x_i+h) = y(x_i) + y'(x_i)\,h + \frac{1}{2}\,y''(x_i+t\,h)\,h^2.$$ (3.24)

Zanemarimo zadnji član, koji sadrži $h^2,$ pa dobivamo približnu vrijednost

$$y_{i+1} \approx y_i + y'_i\,h.$$

Stavimo

$$y_{i+1} = y_i + h\,f(x_i,y_i).$$

Tako imamo sljedeći algoritam

Algoritam 9   (Eulerova metoda) Izaberemo dovoljno velik prirodni broj $n.$ Za zadani korak

$$h = \frac{b-a}{n}$$

računamo niz brojeva $(y_i)$ po formuli

$$y_{i+1} = y_i + h\,f(x_i,y_i),\hspace{1cm}i=0,1,2,\ldots,n-1,$$

s tim da je

$$x_i = a + i\,h,$$

a početna vrijednost $y_0$ je određena početnim uvjetom.

Mathematica program 6   (Eulerova metoda)

 
f[x_,y_]=; (* upisuje se f(x,y), ako je jednadzba y'=f(x,y) *) 
pocuvj=;   (* pocetni uvjet u obliku {x0,y0} *) 
kraj=;     (* drugi rub segmenta na kojem se trazi rjesenje *) 
n=;        (* broj podsegmenata podjele *) 
h=(kraj-pocuvj[[1]])/n; 
x=pocuvj[[1]]; 
y=pocuvj[[2]]; 
rj={}; 
While[x-h<kraj, 
rj=Append[rj,{x,y}]//N; 
y=y+h f[x,y]; 
x=x+h]; 
rj

Primjer 3.17   Riješiti Eulerovom metodom Cauchyjev problem

$$y' = y,\qquad y(0) = 1$$

na segmentu $[0,1],$ dijeleći ga na deset dijelova.

Rješenje. Lako se vidi da je točno rješenje $e^x.$ U sljedećoj tabeli imamo približna rješenja dobivena Eulerovom metodom i točna rješenja zaokružena na devet decimala.

$x_i$	$y_i$	$e^{x_i}$
0	$1.$	$1.$
$0.1$	$1.1$	$1.105170918$
$0.2$	$1.21$	$1.221402758$
$0.3$	$1.331$	$1.349858808$
$0.4$	$1.4641$	$1.491824698$
$0.5$	$1.61051$	$1.648721271$
$0.6$	$1.77156$	$1.8221188$
$0.7$	$1.94872$	$2.013752707$
$0.8$	$2.14359$	$2.225540928$
$0.9$	$2.35795$	$2.459603111$
$1.$	$2.59374$	$2.718281828$

Rezultat se vidi na slici. Puna linija predstavlja graf točnog rješenja $e^x,$ a crtkana linija spaja nađene točke dijelovima pravaca.

Ova metoda je vrlo jednostavna, ali i vrlo gruba (ocjena pogreške je vrlo gruba) tako da se rijetko kada upotrebljava.