Osnovni problem.

Neka je $I$ interval u $\mathbb{R},$ $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ neprekidna funkcija na $I.$ Treba riješiti jednadžbu

$$f(x) = 0.$$ (3.1)

Razmotrit ćemo nekoliko iterativnih postupaka za rješavanje jednadžbe (3.1), i to metodu polovljenja, metodu iteracije, Newtonovu metodu i metodu sekante.

Pretpostavimo da su $\alpha{}$ i $\beta{}$ u domeni funkcije $f$ takvi da je

$$f(\alpha{})\,f(\beta{}) < 0.$$ (3.2)

Zbog neprekidnosti funkcije, prema Bolzanovom teoremu (neprekidnost funkcije na segmentu, v. [10, Teorem 4, str. 31]), postoji barem jedno rješenje $s$ jednadžbe (3.1) u segmentu $[\alpha{},\beta{}].$

Iterativni postupak je postupak, kojim nalazimo niz brojeva $x_n,\;n=0,1,2,\ldots{}$ koji predstavljaju približne vrijednosti rješenja. Cilj je dobiti približno rješenje u granicama unaprijed dane točnosti. Da bi se to ostvarilo trebaju približna rješenja $x_n$ težiti k rješenju $s.$ Ako se to događa, tj. ako niz $(x_n)$ konvergira, i ako je

$$\lim_{n\rightarrow{}\infty{}} x_n = s,$$

onda kažemo da iterativni postupak konvergira k rješenju. Član $x_n$ se zove $n$-ta aproksimacija rješenja $s.$ Naravno, možemo naći samo konačno mnogo članova niza. Tako se moramo zadovoljiti s približnim rješenjem. Koja će aproksimacija biti dovoljno dobra ovisi o tome kolika je greška dozvoljiva. Prema tome bit će nam važno znati ocijeniti grešku koju činimo kad pravo rješenje $s$ zamjenimo s $n$-tom aproksimacijom $x_n.$