Next: Numerička matematika
Up: Višedimenzionalni problemi
Previous: Metoda separacije varijabli za
  Sadržaj
  Indeks
Varijacijski princip
Rješavamo rubni problem
![\begin{displaymath}
% latex2html id marker 37107
\begin{cases}-\Delta\,u(x,y) = ...
...\bar{\Omega}$\ \\ u\vert _{\partial \Omega} = 0. & \end{cases}\end{displaymath}](img2273.png) |
(2.55) |
Svaku funkciju
klase
takvu da je
zovemo dopustivom
funkcijom.
Pretpostavimo da je
ravnotežni položaj membrane, tj.
rješenje gornjeg problema. Da bi se membrana pomakla iz tog
položaja, potrebno je izvršiti neki rad. Taj rad ovisi o veličini
perturbacije
Budući da je u novom položaju membrana i
dalje učvršćena na rubu, mora i
biti dopustiva funkcija. Rad,
koji izvrši vanjska sila uslijed pomaka
je
dok je unutrašnji rad membrane
Ako jednadžbu u (2.57) pomnožimo s
i integriramo po
dobivamo
Ova jednakost
izražava Bernoullijev princip sačuvanja rada (energije). Iz prve
Greenove formule
slijedi
jer je
dopustiva funkcija, pa iščezava na rubu od
a
s njom i krivuljni integral. Kad to uvrstimo u gornju jednakost,
dobivamo
![% latex2html id marker 37141
$\displaystyle \iint_{\Omega}\,{\rm grad\,}v\cdot{\rm grad\,}u\,dxdy = \iint_{\Omega}\,f\,v\,dxdy.$](img2284.png) |
(2.56) |
Možemo zaključiti sljedeće. Ako funkcija
rješava rubni problem
(2.57), onda za svaku dopustivu funkciju
vrijedi
(2.58). Također vrijedi i obrat. Ako
sa svojstvom
zadovoljava (2.58) za svaku
dopustivu funkciju
onda
rješava rubni problem (2.57).
Prvi dio smo dokazali. Treba dokazati obrat.
Neka vrijedi (2.58) za svaku dopustivu funkciju
i neka
je
Tada je prema prvoj Greenovoj formuli
Krivuljni integral iščezava, jer je
dopustiva funkcija. Tako je
Uvrstimo u (2.58), dobivamo
za svaku dopustivu funkciju
Po osnovnoj lemi slijedi
Kao i u jednodimenzionalnom slučaju sada dokazujemo da je
Bernoullijev princip ekvivalentan problemu minimizacije
funkcionala
energije.
Neka je dan funkcional
Pogledajmo čime se odlikuje
ako
zadovoljava Bernoullijev
princip, tj. zadovoljava (2.58). U tu svrhu stavimo
gdje je
perturbacija
ravnotežnog položaja (dopustiva funkcija). Kako je
ravnotežni
položaj,
je dopustiva funkcija, pa je i
dopustiva. Imamo
Dakle
i pri tom je
samo ako je
a to znači
konst.
a kako je na rubu
slijedi da je
samo ako je
Dakle
je
jedinstvena funkcija sa svojstvom
koja
minimizira funkcional
Dokažimo sada obrat, tj. da funkcija
koja minimizira funkcional
i zadovoljava rubni uvjet
mora
zadovoljavati Bernoullijev princip, tj.
(2.58). Pretpostavimo da
ima tražena svojstva, i
stavimo
gdje je
perturbacija (funkcija iz klase
dopustivih). Funkcional
poprima minimum na funkciji
pa prema
tome funkcija
poprima minimum za
Imamo
Ovo je polinom drugog stupnja u
koeficijent uz
je pozitivan, pa funkcija doista ima minimum u
tjemenu. Apscisa tjemena parabole, koja je graf funkcije
je
pa ako se minimum dostiže u
tj. u točki s apscisom
onda mora biti
U našem slučaju slijedi
za svaku
dopustivu funkciju
Tako smo dokazali da
zadovoljava
(2.58). Iz svega rečenog možemo zaključiti da vrijedi
sljedeće.
Teorem 21 (
Varijacijski
princip)
Da
bi funkcija
![$ u$](img1162.png)
bila rješenje rubnog problema
![\begin{displaymath}
% latex2html id marker 37276
\begin{cases}-\Delta\,u = f,\hs...
...na }\Omega{},& \\ u\vert _{\partial\Omega{}} = 0,& \end{cases}\end{displaymath}](img2317.png) |
(2.57) |
nužno je i dovoljno da funkcija
zadovoljava taj rubni uvjet i da
minimizira funkcional
Next: Numerička matematika
Up: Višedimenzionalni problemi
Previous: Metoda separacije varijabli za
  Sadržaj
  Indeks
2001-10-26