Dirichletov problem za ravnotežu kružne membrane

Dirichletov problem za ravnotežu kružne membrane glasi

$$% latex2html id marker 36656 \begin{cases} \Delta\,u = 0,& \\ u\vert _{\partial K} =\alpha, & \end{cases}$$

gdje $K$ označava krug radiusa $R,$ a $\partial K$ njegov rub, kružnicu radiusa $R.$

Prirodno je koordinatni sustav izabrati sukladno geometrijskim karakteristikama područja. Zato u ovom slučaju koristimo polarni koordinatni sustav u ravnini, i to tako da ishodište stavimo u središte kruga.

U polarnom koordinatnom sustavu su koordinate $r$ i $\varphi,$

$$x = r\,\cos\varphi,\hspace{1cm}y = r\,\sin\varphi,$$

pa je

$$u(x,y) = u(r\,\cos\varphi,r\,\sin\varphi) = \tilde{u}(r,\varphi).$$

Postavlja se pitanje u što se transformira

$$\Delta\,u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$$

kad se pređe na funkciju $\tilde{u},$ tj. kad se Laplace računa u polarnom sustavu u ravnini. To je riješeno kao jedan od primjera za deriviranje kompozicije funkcija (lančano pravilo) u predavanjima iz Matematike 2. . Tamo vidimo da je

$$\Delta\,\tilde{u} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\,\lef... ...artial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\tilde{u}}{\partial\varphi^2}.$$

U daljnjem ćemo umjesto $\tilde{u}$ pisati radije $u,$ pa jednadžba prema tome glasi

$$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\,\left(r\,\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial\varphi^2} = 0.$$ (2.52)

Budući da smo ishodište polarnog koordinatnog sustava postavili u središte kruga, čiji je radius $R,$ rubni uvjet se može zapisati ovako

$$u(R,\varphi) = \alpha(\varphi).$$

Rješenje tražimo u obliku

$$u(r,\varphi) = A(r)\,\Phi(\varphi).$$

Uvrstimo u jednadžbu (2.54), dobivamo

$$\Phi(\varphi)\,\frac{1}{r}\frac{d}{d r}\,\left(r\,\frac{d A(r)}{d r}\right) + \frac{1}{r^2}\,A(r)\,\frac{d^2 \Phi}{d\varphi^2} = 0.$$

Podijelimo s $A\Phi,$ i pomnožimo s $r^2,$ pa imamo

$$\frac{r}{A}\,\frac{d}{d r}\,\left(r\,\frac{d A(r)}{d r}\right) = -\frac{1}{\Phi}\,\frac{d^2 \Phi}{d\varphi^2} = a,$$

gdje je $a$ konstanta, jer smo separirali varijable. Imamo

$$\Phi'' + a\,\Phi = 0.$$

Budući da je $\Phi$ periodička funkcija (zbog geometrije problema), $a$ mora biti pozitivan, na pr. $a=\lambda^2.$ Slijedi

$$\begin{array}{l} r\,(r\,A')' - \lambda^2\,A = 0,\\ \Phi'' + \lambda^2\,\Phi = 0. \end{array}$$

Opće rješenje druge jednadžbe je

$$\Phi(\varphi) = C_1\,\cos\lambda\varphi + C_2\,\sin\lambda\varphi.$$

Period funkcije $\Phi$ je $2\pi,$ pa slijedi

$$\lambda = n,\hspace{1cm}n \in Z.$$

Za drugu jednadžbu imamo dakle ova rješenja

$$\Phi_n(\varphi) = C_{1n}\,\cos n\varphi + C_{2n}\,\sin n\varphi,\quad\quad n \in Z .$$

Prva jednadžba sada glasi

$$r\,(r\,A'_n)' - n^2\,A_n = 0.$$ (2.53)

Za $n=0$ imamo

$$r\,(r\,A'_0)' = 0,$$

što nakon dijeljenja s $r$ postaje

$$r\,A'_0 = D.$$

U slučaju $D=0,$ imamo

$$A_{01}(r) = D_{01}.$$

Ako je $D\neq 0,$ onda nakon još jednog dijeljenja s $r,$ i integriranja, dobivamo

$$A_{02}(r) = D_{02}\,\ln r,$$

pa je u tom slučaju opće rješenje

$$A_0(r) = D_{01} + D_{02}\,\ln r.$$

Rješenja za $n\neq 0$ potražimo u obliku

$$A_n(r) = r^{\gamma}.$$

Lako se vidi da je

$$(r\,A'_n)' = \gamma^2\,r^{\gamma - 1}.$$

Prema tome jednadžba (2.55) se svodi na

$$\gamma^2\,r^{\gamma} - n^2\,r^{\gamma} = 0,$$

odakle

$$\gamma = \pm n,$$

pa su tako rješenja jednadžbe (2.55) za $n>0$

$$A_{n1}(r) = r^n,\hspace{1cm}A_{n2}(r) = r^{-n}.$$

Opće rješenje za $n>0$ je

$$A_n(r) = D_{1n}\,r^n + D_{2n}\,r^{-n} = D_{1n}\,r^n + \frac{D_{2n}}{r^{n}}.$$

Budući da se radi o krugu, za koji je $0\leq r\leq R,$ rješenja $\ln r$ za $n=0,$ i $\frac{1}{r^{n}}$ ne dolaze u obzir, jer te funkcije nisu definirane za $r= 0.$ Tako imamo rješenja

$$u_n(r,\varphi) = r^n\,(C_{1n}\,\cos n\varphi + C_{2n}\,\sin n\varphi),\hspace{1cm}n=0,1,2,3,\ldots\ .$$

Sve ovo smo dobili direktno iz jednadžbe uz uvažavanje određenih fizikalnih činjenica. Iskoristimo sada rubni uvjet. Nijedno od rješenja $u_n$ ne mora zadovoljavati rubni uvjet. Zato pretpostavimo rješenje rubnog problema u obliku

$$u(r,\varphi) = \sum_{n=0}^{\infty} u_n(r,\varphi) = \sum_{n=0}^{\infty} r^n\,(C_{1n}\,\cos n\varphi + C_{2n}\,\sin n\varphi),$$

što se može napisati ovako

$$u(r,\varphi) = C_{10} + \sum_{n=1}^{\infty} r^n\,(C_{1n}\,\cos n\varphi + C_{2n}\,\sin n\varphi).$$

Ovo rješenje mora zadovoljavati rubni uvjet

$$\alpha(\varphi) = u(R,\varphi) = C_{10} + \sum_{n=1}^{\infty} R^n\,(C_{1n}\,\cos n\varphi + C_{2n}\,\sin n\varphi).$$

To je Fourierov red funkcije $\alpha,$ pa slijedi

$$C_{10} = \frac{1}{2\,\pi}\,\int_{-\pi}^{\pi}\,\alpha(\varphi)\,d\... ...\frac{1}{R^n\pi}\,\int_{-\pi}^{\pi}\,\alpha(\varphi)\,\cos n\varphi\,d\varphi,$$

$$C_{2n} = \frac{1}{R^n\pi}\,\int_{-\pi}^{\pi}\,\alpha(\varphi)\,\sin n\varphi\,d\varphi.$$