Integralni račun funkcija kompleksne varijable

Integral funkcije kompleksne varijable

Neka je $f:D\rightarrow C,$ gdje je $D$ područje u $C,$ neprekidna funkcija na $D.$ Neka je $\overset{\curvearrowright}{\Gamma}$ glatka orijentirana krivulja u $D.$ Neka je $\vec{r}\,(t)=x(t)\,\vec{\imath}+y(t)\,\vec{\jmath},\;t\in [a,b],$ njezina parametrizacija. Točke na krivulji tada možemo pisati kao

$$z(t)=x(t)+i\,y(t).$$

Tada je

$$dz=dx+i\,dy=(x'(t)+i\,y'(t))\,dt,$$

pa je

$$\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}}f(z)\,dz = \int_{\overse... ...ma}}(u\,dx-v\,dy) + i\,\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}}(v\,dx+u\,dy) =$$

$$\int_a^b\left[u(x(t),y(t))x'(t)-v(x(t),y(t))y'(t)\right]dt + i\,\int_a^b\left[v(x(t),y(t))x'(t)+u(x(t),y(t))y'(t)\right]dt,$$

što se može kraće zapisati kao

$$\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}}f(z)\,dz = \int_a^b f(z(t))z'(t)\,dt,$$

ako se uzme u obzir da je $z'(t)=x'(t)+i\,y'(t).$

Ako je krivulja $\Gamma {}$ po dijelovima glatka, onda se integral definira kao suma integrala po glatkim dijelovima. Ovdje se radi ustvari o krivuljnom integralu druge vrste, pa prema tome integral ovisi o orijentaciji krivulje.

Navedimo neka svojstva integrala.

1.

Za proizvoljne kompleksne brojeve $\alpha{}$ i $\beta$ i neprekidne funkcije $f$ i $g$ na $D$ vrijedi

$$\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}}(\alpha\,f(z)+\beta\,g(z... ...ight}{\Gamma}}f(z)\,dz+ \beta\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}}g(z)\,dz.$$

2.

Ako je $\overset{\curvearrowright}{\Gamma}$ krivulja sastavljena od dvije krivulje $\overset{\curvearrowright}{\Gamma}_1$ i $\overset{\curvearrowright}{\Gamma}_2,$ onda vrijedi

$$\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}}f(z)\,dz = \int_{\overse... ...ight}{\Gamma}_1}f(z)\,dz + \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}_2}f(z)\,dz.$$

3.

Neka je $\vert f(z)\vert\leqslant M$ za $z\in\Gamma.$ Tada vrijedi

$$\left\vert\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}}f(z)\,dz\right\vert \leqslant M\,\ell(\Gamma),$$

gdje je $\ell(\Gamma)$ duljina krivulje $\Gamma.$

Primjer 7.18   Izračunati

$$I = \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}}\frac{dz}{z-z_0}$$

po kružnici oko $z_0$ radiusa $r$ pozitivno orijentiranoj (protivno kretanju kazaljke na satu).

Rješenje. Jednadžba kružnice je

$$z(t)=z_0+r\,\cos t+i\,r\,\sin t=z_0+r\,e^{i\,t},\hspace{1cm}t\in [0,2\pi],$$

i pritom ova parametrizacija daje pozitivnu orijentaciju. Odatle

$$dz=z'(t)\,dt=r\,i\,e^{i\,t}\,dt,$$

pa je

$$I=\int_0^{2\,\pi}\frac{r\,i\,e^{i\,t}\,dt}{r\,e^{i\,t}}= i\int_0^{2\,\pi}dt=2\,\pi\,i.$$

Uočite da integral ne ovisi o $r.$

Primjer 7.19   Izračunati

$$I=\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}}(z-z_0)^ndz,\hspace{1cm}n\in Z\setminus\{-1\}$$

po istoj kružnici kao u prethodnom primjeru.

Rješenje.

$$I=\int_0^{2\,\pi}r^n\,e^{i\,nt}r\,i\,e^{i\,t}\,dt= i\,r^{n+1}\int... ...t= \left.i\,r^{n+1}\frac{e^{i\,(n+1)t}}{i\,(n+1)}\right\vert _{t=0}^{t=2\pi}=0,$$

jer je $e^{i\,2(n+1)\pi}=1$ za proizvoljan cijeli broj $n.$ Uočite da niti ovaj integral ne ovisi o $r.$

Cauchyjev teorem

Slika 7.4: a) Pozitivno orijentirana krivulja. Točka $z_0$ se nalazi u unutrašnjem području. b) Negativno orijentirana krivulja. Točka $z_0$ se ne nalazi u unutrašnjem području.

U daljnjem ćemo često zahtijevati da krivulja $\Gamma {}$ bude zatvorena. U tom slučaju kažemo da je $\Gamma {}$ pozitivno orijentirana ako orijentacija nalaže obilaženje po krivulji protivno kazaljci na satu. Suprotnu orijentaciju, tj. u smjeru kazaljke na satu, zvat ćemo negativnom orijentacijom zatvorene krivulje $\Gamma.$ Unutrašnjim područjem orijentirane krivulje $\Gamma {}$ smatrat ćemo onaj dio kompleksne ravnine koji ostaje s lijeve strane prilikom obilaska po krivulji u smjeru orijentacije. Također ćemo reći da orijentirana krivulja $\Gamma {}$ obuhvaća točku $z_0$, ako se točka $z_0$ nalazi u njezinom unutrašnjem području. Kad se radi o zatvorenoj krivulji, oznaka $\Gamma {}$ će značiti automatski pozitivnu orijentiranost. Negativno orijentiranu krivulju ćemo označavati s $-\Gamma{}.$

Teorem 37   Neka je $f$ analitička funkcija na jednostruko povezanom području $D,$ i neka je $\Gamma {}$ zatvorena, po dijelovima glatka krivulja u $D,$ orijentirana tako da se unutrašnje područje od $\Gamma {}$ nalazi u $D$ (v. sl. 7.5). Tada je

$$\int_{\Gamma}f(z)\,dz=0.$$

Slika 7.5: Integral po $\Gamma {}$ funkcije, analitičke na $D$ iščezava.

Dokaz. Iz analitičnosti funkcije $f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y)$ slijedi da $u$ i $v$ zadovoljavaju Cauchy-Riemannove jednadžbe

$$\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial v(x,y)}{\partia... ...ce{1cm} \frac{\partial u(x,y)}{\partial y}=-\frac{\partial v(x,y)}{\partial x}.$$

To znači da su vektorska polja

$$\vec{a}=v(x,y)\,\vec{\imath}+u(x,y)\,\vec{\jmath},\hspace{1cm} \vec{b}=u(x,y)\,\vec{\imath}-v(x,y)\,\vec{\jmath}$$

konzervativna, pa njihovi krivuljni integrali druge vrste po zatvorenoj krivulji iščezavaju.

$$\int_{\Gamma}\vec{a}\cdot\vec{dr}=\int_{\Gamma}(v\,dx+u\,dy)=0,\hspace{1cm} \int_{\Gamma}\vec{b}\cdot\vec{dr}=\int_{\Gamma}(u\,dx-v\,dy)=0.$$

Tako je

$$\int_{\Gamma}f(z)\,dz= \int_{\Gamma}(u\,dx-v\,dy)+i\,\int_{\Gamma}(v\,dx+u\,dy)=0.$$ $$\heartsuit$$

Posljedica. Neka je $D$ višestruko povezano područje i neka je $f$ analitička na $D.$ Neka su u $D$ dane po dijelovima glatke, zatvorene krivulje $\Gamma_1$ i $\Gamma_2$ koje se međusobno ne sijeku, tako da je $\Gamma_2$ u unutrašnjem području krivulje $\Gamma{}_1,$ i da presjek unutrašnjih područja $\Gamma_1$ i $-\Gamma{}_2$ leži u $D.$

Tada vrijedi

$$\int_{\Gamma}f(z)\,dz = 0,$$

gdje je $\Gamma=\Gamma_1\cup -\Gamma_2.$

Primjedba. Neka je $D$ područje, $f$ funkcija analitička na $D$ osim možda u točki $z_0.$ Odaberimo u $D$ zatvorenu, po dijelovima glatku pozitivno orijentiranu krivulju $\Gamma {}$ unutar koje se nalazi $z_0.$ Opišimo oko $z_0$ pozitivno orijentiranu kružnicu $K$ tako da potpuno leži u unutrašnjem području krivulje $\Gamma.$ Na području omeđenom krivuljom $\Gamma {}$ i kružnicom $-K$ funkcija $f$ je analitička. Tako je

$$\int_{\Gamma\cup -K}f(z)\,dz = \int_{\Gamma} f(z)\,dz + \int_{-K} f(z)\,dz = 0.$$

Odatle je

$$\int_{\Gamma} f(z)\,dz = -\int_{-K} f(z)\,dz = \int_{K} f(z)\,dz.$$

Isti zaključak dobivamo i ako se $\Gamma {}$ nalazi u unutrašnjem području kružnice. Tako možemo, ako su ispunjeni gornji uvjeti, integral analitičke funkcije po bilo kakvoj krivulji zamijeniti integralom po kružnici.

Teorem 38   Neka je $f$ analitička funkcija na jednostruko povezanom području $D.$ Tada integral

$$F(z)=\int_{z_0}^z f(t)\,dt$$

ne ovisi o putu integracije, već samo o krajnjim točkama. Funkcija $F,$ koju on određuje, je analitička, i vrijedi

$$F'(z)=\frac{d}{dz}\int_{z_0}^zf(t)\,dt=f(z).$$

Dokaz. Da integral ne ovisi o putu slijedi odmah iz Cauchyjevog teorema. Analitičnost od $F$ će slijediti, ako dokažemo da je $F'(z)=f(z).$

$$F'(z)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}[F(z+h)-F(z)]= \lim_{h \r... ...ow 0} \frac{1}{h}\left[\int_{z_0}^{z+h} f(t)\,dt-\int_{z_0}^z f(t)\,dt\right]=$$

$$=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left[\int_{z_0}^{z+h} f(t)\,dt+\int_z^{z_0} f(t)\,dt\right]=$$

$$=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h} \int_z^{z+h} f(t)\,dt=$$   prema teoremu srednje vrijednosti za integrale$$=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h} f(c_z)h =f(z).$$

$\heartsuit$

Funkcija $F$ se zove primitivna funkcija funkcije $f.$

Cauchyjeva formula

Teorem 39   Neka je $D$ jednostruko povezano područje i neka je $f:D\rightarrow C$ analitička funkcija na $D.$ Neka je $\Gamma {}$ po dijelovima glatka zatvorena krivulja u $D,$ orijentirana tako da unutrašnje područje od $\Gamma {}$ leži u $D$ (v. sl. 7.5). Tada za svaki $z_0$ u unutrašnjem području od $\Gamma {}$ vrijedi

$$f(z_0)=\frac{1}{2\pi\,i}\int_{\Gamma}\frac{f(z)\,dz}{z-z_0}.$$

Dokaz. Neka je

$$g(z)=\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}.$$

Funkcija $g$ nije definirana u $z_0.$ No $\lim_{z \rightarrow z_0} g(z)=f'(z_0),$ pa ako stavimo $g(z_0)=f'(z_0),$ onda je tako proširena funkcija $g$ neprekidna na $\bar{D}.$ Osim toga funkcija $g$ je analitička u $D$ osim u točki $z_0.$ Prema tome

$$\int_{\Gamma}g(z)\,dz=\int_{\vert z-z_0\vert=r}g(z)\,dz$$

za bilo koji $r>0.$ To znači da drugi integral ne ovisi o $r.$ No, funkcija $g$ je neprekidna na kružnici $\vert z-z_0\vert=r,$ kružnica je zatvoren ograničen skup, pa postoji $M>0$ takav da je $\vert g(z)\vert\leqslant M$ za svaki $z$ na kružnici. Prema svojstvu integrala

$$\left\vert\int_{\vert z-z_0\vert=r}g(z)\,dz\right\vert\leqslant \int_{\vert z-z_0\vert=r}\left\vert g(z)\right\vert\,dz\leqslant M\,2\pi\,r.$$

Budući da integral ne ovisi o $r,$ i da se on može uzeti po volji malen, slijedi

$$\int_{\Gamma}g(z)\,dz=\int_{\vert z-z_0\vert=r}g(z)\,dz=0.$$

Odatle

$$\int_{\Gamma}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\,dz=0,$$

tj.

$$\int_{\Gamma}\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz= \int_{\Gamma}\frac{f(z_0)}{z-z_0}\,dz= f(z_0)\int_{\Gamma}\frac{dz}{z-z_0}=2\pi\,i\,f(z_0),$$

što je formula iz teorema drugačije napisana. $\heartsuit$

Formula

$$f(z_0)=\frac{1}{2\pi\,i}\int_{\Gamma}\frac{f(z)\,dz}{z-z_0}$$

se zove Cauchyjeva formula. Ona vrijedi i u slučaju višestruko povezanog područja $D.$

Primjer 7.20   Izračunati integral

$$I=\int_{\Gamma}\frac{\sin z}{z^2+1}\,dz,$$

gdje je $\Gamma {}$ zatvorena glatka krivulja koja obuhvaća točku $z=i,$ ali ne obuhvaća točku $z=-i.$

Rješenje.

$$I=\int_{\Gamma}\frac{\sin z}{(z+i)(z... ...,i\,\left.\frac{\sin z}{z+i}\right\vert _{z=i}=\pi\,\sin i=i\,\pi\,{\rm sh}\,1.$$

Primjer 7.21   Izračunati

$$\int_{\Gamma}\frac{dz}{1+z^2},$$

gdje je $\Gamma {}$ pozitivno orijentirana središnja kružnica radiusa $R,\;\;(R>1).$

Rješenje. Funkcija $\frac{1}{1+z^2}=\frac{1}{(z+i)(z-i)}$ nije analitička u krugu omeđenom kružnicom $\Gamma.$ No, ako opišemo kružnice $\Gamma_1$ i $\Gamma_2$ radiusa $r$ oko $z=i$ i oko $z=-i$ tako da potpuno leže unutar $\Gamma,$ onda u području između ovih kružnica i kružnice $\Gamma {}$ funkcija $\frac{1}{1+z^2}$ jeste analitička. Ako kružnice $\Gamma_1$ i $\Gamma_2$ pozitivno orijentiramo, onda po Cauchyjevom teoremu za višestruko povezana područja

$$\int_{\Gamma}\frac{dz}{1+z^2}=\int_{\Gamma_1}\frac{dz}{1+z^2} +\int_{\Gamma_2}\frac{dz}{1+z^2}.$$

$$\int_{\Gamma_1}\frac{dz}{1+z^2}= \int_{\Gamma_1}\frac{\frac{1}{z+i}}{z-i}\,dz=2\pi\,i\frac{1}{2i}=\pi.$$

$$\int_{\Gamma_2}\frac{dz}{1+z^2}= \int_{\Gamma_2}\frac{\frac{1}{z-i}}{z+i}\,dz=-2\pi\,i\frac{1}{2i}=-\pi.$$

Tako je

$$\int_{\Gamma}\frac{dz}{1+z^2}=0.$$

Na kraju napomenimo da funkcija $f:D\rightarrow C,$ analitička na području $D,$ ima na $D$ derivaciju bilo kojeg reda, i ona se u točki $z_0\in D$ računa po formuli

$$f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi\,i}\,\int_{\Gamma} \frac{f(z)\,dz}{(z-z_0)^{n+1}},$$

gdje je $\Gamma {}$ bilo koja zatvorena, po dijelovima glatka, pozitivno orijentirana krivulja u $D,$ koja obuhvaća točku $z_0.$

Pitanja

1.

Kako se definira integral funkcije kompleksne varijable? O kojem se integralu ovdje radi?

2.

Kakvu orijentaciju zatvorene krivulje smatramo pozitivnom, a kakvu negativnom? Što je unutrašnje područje zatvorene orijentirane krivulje?

3.

Kako glasi Cauchyjev teorem? Da li ga znate dokazati?

4.

Kad kažemo da je neko područje višestruko povezano? Da li Cauchyjev teorem vrijedi za višestruko povezana područja?

5.

Što je primitivna funkcija neke analitičke funkcije? Kako se može izračunati? Zašto?

6.

Kako glasi Cauchyjeva formula?

7.

Koje važno svojstvo imaju analitičke funkcije?

Riješeni zadaci

1.

Izračunati

$$\int_{\Gamma} z\,\sin z\,dz$$

po pravcu od točke $z=0$ do točke $z=i.$

Rješenje. Parametrizacija krivulje integracije je $z=i\,t,\;t\in [0,1].$ Slijedi $\sin z=\sin i\,t=i\,{\rm sh}\,t,$ $dz=i\,dt.$ Dakle

$$\int_{\Gamma} z\,\sin z\,dz = -i\,\i... ...\right\vert _0^1 = -i\,({\rm ch}\,1 - {\rm sh}\,1) = -\frac{i}{e} = -i\,e^{-1}.$$

2.

Pomoću Cauchyjeve formule izračunati sljedeće integrale

a)$$\;\int_{\vert z\vert=2} \frac{e^z\,dz}{z^2-1},$$   b)$$\;\int_{\vert z+1\vert=1} \frac{dz}{(1+z)(z-1)^3},$$   c)$$\;\int_{\vert z\vert=4} \frac{\cos z\,dz}{z^2-\pi^2}.$$

Kružnice po kojima se integrira su pozitivno orijentirane.

Rješenje. a) U unutrašnjem području krivulje nalaze se dvije točke u kojima finkcija nije analitička $z=-1$ i $z=1.$ Prema primjeru 7.21 integral je jednak sumi integrala oko ovih točaka po pozitivno orijentiranim kručnicama koje obilaze samo jednu od njih. Dakle

$$\int_{\vert z\vert=2} \frac{e^z\,dz}... ...pi\,i\,\left(-\frac{e^{-1}}{2} + \frac{e^1}{2}\right) = 2\,\pi\,i\,{\rm sh}\,1.$$

b) Točke u kojima funkcija nije analitička su $z=-1$ i $z=1.$ U unutrašnjem području se nalazi samo točka $z=-1.$ Tako imamo

$$\int_{\vert z+1\vert=1} \frac{dz}{(1+z)(z-1)^3} = 2\,\pi\,i\,\frac{1}{(-2)^3} = -\frac{\pi\,i}{4}.$$

c) Točke u kojima funkcija nije analitička jesu $\pi$ i $-\pi.$ Obje leže u unutrašnjem području kružnice, pa imamo

$$\int_{\vert z\vert=4} \frac{\cos z\,dz}{z^2-\pi^2} = 2\,\pi\,i\,\left(\frac{\cos (-\pi)}{-2\,\pi} + \frac{\cos \pi}{2\,\pi}\right) = 0.$$