Prostorne algebarske krivulje

Skup od \(\infty^1\) neprekinuto povezanih točaka prostora, koje ne leže u jednoj ravnini, nazivamo prostornom krivuljom.

Ima puno različitih vrsta takvih krivulja (primjerice, putanje različitih gibanja), ali mi ćemo se ovdje baviti isključivo algebarskim prostornim krivuljama koje nastaju kao presjeci dviju algebarskih ploha. Te ćemo krivulje nazivati prodorima ili prodornim krivuljama tih ploha.

Algebarske prostorne krivulje su skupovi točaka prostora čije \((x,y,z)\) koordinate zadovoljavaju dvije algebarske jednadžbe \( F_1(x,y,z)=0\) i \( F_2(x,y,z)=0\).
Ta je krivulja skup točaka koje leže na plohama koje su zadane tim jednadžbama.
Razvrstavamo ih prema njihovu redu (one se nadalje razvrstavaju i po razredu, ali ćemo mi takva razmatranja na ovom nivou izostaviti).


Geometrijska definicija reda prostorne algebarske krivulje je sljedeća:
  • Red prostorne algebarske krivulje jednak je broju njezinih točaka koje leže u bilo kojoj ravnini prostora.
    Jasno je da te točke mogu biti realne ili imaginarne.

  • Red prostorne algebarske krivulje koja je prodorna krivulja dviju algebarskih ploha redova \( n\) i \( m\), je \( \mathbf{n\cdot m}\).\( ^*\)


    Prostorna krivulja 3. reda.

    Jednodijelna prostorna krivulja 4. reda.

    Dvodijelna prostorna krivulja 4. reda.


    Te prostorne krivulje mogu imati višestruke točke (dvostruke, trostruke,...). Kao i kod ravninskih krivulja, i ovdje je broj dvostukih točaka ograničen redom krivulje i ako krivulja ima veći broj dvostrukih točaka od ”dozvoljenog”, ona se raspada na krivulje nižih redova.

    Maksimalan broj dvostrukih točaka neraspadnute algebarske krivulje \(n-\)tog reda je:


  • \(\frac{(n-2)^2}{4}\), za \(n\) paran,


  • \(\frac{(n-1)(n-3)}{4}\), za \(n\) neparan.

    Ako krivulja \( n-\)tog reda ima više od tog broja dvostrukih točaka,
    ona se raspada na krivulje nižih redova tako da zbroj redova krivulja u raspadu bude \( n\).

    Dvostruka točka prodorne krivulje

    Kada prodorna krivulja dviju ploha ima dvostruku točku?


    Neka je \(k\) prodorna krivulja ploha \(\Phi\) i \(\Psi\) i neka je \(T\in k\) regularna točka ploha \(\Phi\) i \(\Psi\).

  • Točka \(T\) je dvostruka točka krivulje \(k\), ako plohe \(\Phi\) i \(\Psi\) imaju u njoj
    zajedničku tangencijalnu ravninu.
  • Pored toga, ako je neka točka dvostruka točka plohe, bit će ona
    dvostruka točka i svake prodorne krivulje koja njome prolazi.

    • Tangenta prodorne krivulje

    Budući da dirna ravnina plohe sadrži tangente svih krivulja koje leže na plohi i prolaze tom točkom, zaključujemo sljedeće:

  • Tangenta prodorne krivulje u njenoj regularnoj točki je
    presječnica dirnih ravnina ploha u toj točki.

    • desni klik \( \rightarrow \) PLAY





    Prostorna krivulja 4. reda kao prodorna krivulja stožaca, valjaka i sfera.


    \( ^*\) Ovdje bi se moglo pogrešno zaključiti da ne postoje algebrske prostorne krivulje čiji je red jednak nekom prim broju, primjerice reda 3.
    Takve se krivulje pojavljuju kao dijelovi raspada prodorne krivulje dviju ploha. Za 3. red ćemo kasnije navesti i primjere.


    Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu