Aksonometrijske metode

Koso paralelno projiciranje na jednu ravninu

    - Neka su u prostoru dani ravnina \(\small\Pi\) i pravac \(\small a\) koji s njom nije paralelan.
  • Preslikavanje koje svakoj točki \(\small T\) pridružuje točku \(\small \overline T\) koja je probodište ravnine \(\small\Pi\) i pravca koji sadrži \(\small T\), a paralelan je s pravcem \(\small a\), nazivamo paralelnom projekcijom na ravninu Π u smjeru \(\small a\).
    - Pravce paralelne s pravcem \(\small a\) nazivamo zrakama projiciranja, a \(\small\Pi\) ravninom projekcije.
  • Ako su zrake projiciranja kose prema ravnini projekcije (nisu okomite na nju), onda paralelnu projekciju nazivamo kosom paralelnom projekcijom.

Neka svojstva kosog paralelnog projiciranja

  • Pravac se, ako nije zraka projiciranja, projicira u pravac.
  • Paralelnost pravaca (koji nisu zrake projiciranja) je invarijanta projiciranja.

  • Duljina kose paralelne projekcije \(\small\overline{\overline A \overline B}\) neke dužine \(\small\overline{AB}\) (koja nije paralelna sa zrakom projiciranja) može biti veća, jednaka ili manja od duljine dužine \(\small\overline{AB}\).
  • Dužina će se projicirati u pravoj veličini ako je paralelna s ravninom projekcije.
  • Djelišni omjer (ako dužina ne leži na zraci projiciranja) je invarijanta paralelnog projiciranja.

  • Kut će se projicirati u pravoj veličini ako su mu oba kraka paralelna s ravninom projekcije.
\(\small d(\overline A,\overline B) < d(a,b)\) \(\small d(\overline A,\overline B) = d(a,b)\) \(\small d(\overline A,\overline B) > d(a,b)\)


Prostorni i ravninski trobrid

Neka su \(\small \overline O\), \(\small \overline A\), \(\small \overline B\) i \(\small \overline C\) četiri različite i nekolinearne točke iste ravnine.

ortonormirani trobrid


ravninski trobrid


Neka je \(\small O (A, B, C)\) ortonormirani trobrid u prostoru i neka niti jedan od njegovih bridova nije paralelan sa zrakom paralelnog projiciranja. Tada vrijedi:

  • Kosa paralelna projekcija ortonormiranog trobrida \(\small O (A, B, C)\) je ravninski trobrid \(\small \overline O (\overline A, \overline B, \overline C)\) u ravnini projekcije.

    Takav ravninski trobrid \(\small \overline O (\overline A, \overline B, \overline C)\), koji je kosa paralelna projekcija ortonormiranog trobrida \(\small O (A, B, C)\), nazivamo i Pohlkeovim trobridom.



    Pohlkeov teorem (glavni teorem aksonometrije)

    • Za svaki ravninski trobrid \(\small \overline O (\overline A, \overline B, \overline C)\) postoji takvo paralelno projiciranje za koje je taj trobrid projekcija nekog prostornog ortonormiranog trobrida \(\small O (A, B, C)\). (Ovaj teorem nećemo dokazivati, jer dokaz nije sasvim jednostavan.)
    Pohlkeov teorem nazivamo još i fundamentalnim ili glavnim teoremom aksonometrije.
    On nam omogućuje da u ravnini slike po volji odaberemo bilo koji ravninski trobrid, a da smo pri tome sigurni kako postoji paralelno projiciranje pri kojem je taj ravninski trobrid projekcija nekog ortonormiranog trobrida prostora.

    Kosa aksonometrija

    Neka je \(\small O(x,y,z)\) Kartezijev koordinatni sustav i neka su \(\small X\), \(\small Y\) i \(\small Z\) točke na koordinatnim osima tog sustava ( \(\small X \in x\), \(\small Y \in y\), \(\small Z \in z\)) za koje vrijedi
    \(\small d(O,X) = d(O,Y) = d(O,Z)\), tj. \(\small O (X, Y, Z)\) je ortonormirani trobrid.

    Povežemo li neki prostorni objekt s prikladno odabranim sustavom \(\small O(x,y,z)\) pa ga zajedno s osima tog sustava i jediničnim dužinama na njima
    paralelno projiciramo na neku ravninu dobit ćemo aksonometrijsku sliku objekta.

    Postupak takvog projiciranja nazivamo aksonometrijom.
    Ako je smjer projiciranja kos prema ravnini slike (projekcije) postupak nazivamo kosom aksonometrijom.

    Prema Pohlkeovom teoremu, u ravnini slike možemo odabrati bilo koji ravninski trobrid \(\small \overline O (\overline X, \overline Y, \overline Z)\), tj. četiri nekolinearne točke, i smatrati ga paralelnom projekcijom ortonormiranog trobrida \(\small O(X, Y, Z)\).
    Aksonometrijska slika osnog križa.
    Uobičajeno se os \(\small z\) postavlja u vertikalni položaj.
    Aksonometrijska slika točke \(\small P(2,3,2)\).


    Ovdje se može uočiti razlog zbog kojeg Pohlkeov teorem nazivamo fundamentalnim teoremom aksonometrije.
    On nam, naime, omogućuje da projekcije osi koordinatnog sustava i duljine jedinica na njima odaberemo po volji (onako kako nam najviše odgovara za zadani objekt), a da smo pri tome sigurni da postoji paralelno projiciranje koje će odabrani zamišljeni ortonormirani trobrid projicirati upravo u položaj koji smo odabrali u ravnini slike.
    Ako je \(\small d(\overline O,\overline X) = d(\overline O,\overline Y) = d(\overline O,\overline Z) = 1\), aksonometriju nazivamo izometrijom.


    ZADATAK 1: Konstruirajte kose aksonometrije uglatih objekata zadanih tlocrtom i nacrtom.
    Zadatke riješite u izometriji.

    a

    Rješenje

    b

    Rješenje




    Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu