Stošci 2. stupnja

  • Stošci 2. stupnja su algebarske pravčaste plohe čije su izvodnice spojnice točaka neke prave konike k s vrhom V u konačnosti koji ne leži u ravnini konike k.

    Presjeci stošca 2. stupnja

    Jasno je da svaka ravnina prostora siječe stožac 2. stupnja po nekoj konici.

    PONOVITE: prave ili neraspadnute konike

    PONOVITE: raspadi ravninskih algebarskih krivulja

    Ako krivulja 2. stupnja (konika) ima dvostruku točku, ona se raspada na 2 pravca koji mogu biti realni i različiti ili imaginarni koji se sijeku u toj realnoj dvostrukoj točki.
    Pored tih slučajeva, u raspade konike ubrajamo i slučaj kad ona ima beskonačno mnogo dvostrukih točaka, tj. kad se konika sastoji od samo jednog dvostrukog pravca, koji je uvijek realan.
    Raspadnute konike proširene euklidske ravnine.

    1. Ravnina presjeka sadrži vrh stošca

    Ako ravnina prolazi vrhom ona siječe stožac po dvije izvodnice, tj. presjek je raspadnuta konika.

    Naime, postavimo li vrhom stošca neku ravninu ta će ravnina presjeći koniku k u 2 točke, a spojnice tih točaka s vrhom stošca su njegove izvodnice.
    Ovisno o tome da li su sjecišta ravnine i konike k realne i različite točke, poklopljene ili imaginarne biti će i izvodnice po kojima ravnina siječe stožac realne i različite, poklopljene ili imaginarne. Stoga razlikujemo 3 sljedeća slučaja presjeka:

  • par realnih ukrštenih pravaca,

  • jedan realni dvostruki pravac,

  • par konjugirano imaginarnih pravaca s realnim sjecištem u konačnosti.


    dvije realne i različite izvodnice
    dvije poklopljene izvodnice - dirna ravnina
    dvije konjugirano imaginarne izvodnice

    Desni klik za pokretanje animacija.



    2. Ravnina presjeka NE sadrži vrh stošca

    Svaka ravnina koja ne prolazi vrhom stošca 2. stupnja siječe taj stožac po pravoj (neraspadnutoj) konici.

    Tip tog presjeka (hiperbola, parabola ili elipsa) ovisi o tome kakve su njegove beskonačno daleke točke.
    Budući da su točke presječne krivulje probodišta izvodnica stošca i ravnine presjeka, te da pravac koji je paralelan s ravninom siječe tu ravninu u beskonačno dalekoj točki, možemo zaključiti sljedeće:

    Ravnina koja ne prolazi vrhom stošca siječe taj stožac po

  • hiperboli, ako je paralelna s dvije njegove realne izvodnice,

  • paraboli, ako je paralelna s jednom njegovom realnom izvodnicom,

  • elipsi, ako nije paralelna niti s jednom njegovom realnom izvodnicom.


    HIPERBOLA
    ravnina paralelna s dvije izvodnice
    PARABOLA
    ravnina paralelna s jednom izvodnicom
    ELIPSA
    ravnina nije paralelna ni s jednom izvodnicom

    Desni klik za pokretanje animacija.



  • Ako je ravnina paralelna s dvije realne izvodnice stošca, te dvije izvodnice probadaju tu ravninu u dvije realne i različite beskonačno daleke točke.
    Stoga je presječna krivulja konika s dvije realne i različite beskonačno daleke točke, tj. hiperbola.

  • Ako je ravnina paralelna s jednom realnom izvodnicom stošca, ta izvodnica probada tu ravninu u jednoj realnoj beskonačno dalekoj točki.
    Stoga je presječna krivulja konika s jednom realnom beskonačno dalekom točkom, tj. parabola.

  • Ako ravnina nije paralelna niti s jednom realnom izvodnicom stošca, ravnina i stožac nemaju zajedničkih realnih beskonačno dalekih točaka.
    Stoga je presječna krivulja konika koja nema realnih beskonačno dalekih točaka, tj. elipsa.



    Budući da je vrh stošca u konačnosti, beskonačno daleka ravnina proširenog euklidskog prostora ne prolazi vrhom stošca.

    Stoga ona siječe stožac po realnoj neraspadnutoj konici na kojoj leže beskonačno daleke točke svih izvodnica stošca.

    Ta konika nije elipsa niti parabola ili hiperbola, sve njezine točke su realne beskonačno daleke točke prostora.



    Desni klik za pokretanje animacija.

    Tangencijalna ravnina stošca 2. stupnja

    Sve tangencijalne ravnine stošca prolaze njegovim vrhom.

  • Vrh je singularna točka stošca.

    Sve ostale točke stošca su regularne, tj. u svakoj od njih postoji jedinstvena tangencijalna ravnina.

  • Svaka tangencijalna ravnina stošca dodiruje taj stožac duž jedne izvodnice.

  • Sve točke koje leže na istoj izvodnici stošca imaju istu tangencijalnu ravninu.

  • Tangencijalna ravnina stošca u bilo kojoj njegovoj regularnoj točki određena je izvodnicom stošca koja prolazi tom točkom i bilo kojom tangentom stošca u toj točki.





    • Desni klik za pokretanje animacija.
  • Svakom točkom prostora, koja ne leži na stošcu, prolaze dvije tangencijalne ravnine stošca.

    Te ravnine mogu biti realne ili imaginarne.

    Princip konstrukcije tih ravnina dan je u animaciji desno.

    • Kliknite na sliku i pokrenite animaciju.


  • Tangenta u nekoj točki presječne krivulje stošca i ravnine je presječnica tangencijalne ravnine stošca u toj točki i ravnine presjeka.

    Rotacijski stožac

    U okviru našeg predmeta konstruktivno ćemo obrađivati isključivo rotacijske stošce.
    Takav stožac nastaje rotacijom pravca koji siječe os rotacije.
    Sve ravnine okomite na os rotacijske plohe, sijeku tu plohu po kružnicama.

    Stožac ćemo uglavnom zadavati njegovim vrhom i jednim kružnim presjekom kojeg nazivamo kružnicom baze.
    Onu točku izvodnice koja leži na kružnici baze nazivamo nožištem te izvodnice.

    Konstrukcijski zadaci

  • Probodišta pravca i stošca. (PRIMJERI)
  • Tangencijalna ravnina u nekoj točki stošca. (PRIMJER)
  • Tangencijalne ravnine kroz točku koja ne leži na stošcu. (PRIMJER)
  • Postavljanje ravnine zadanim pravcem tako da presječna krivulja bude parabola. (PRIMJERI)


    Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu