Rotacijski jednokrilni hiperboloid

Zadatak 1: Zadana je dužina \(\small \overline{AB}\)\(\small [A(20,-30,-30),B(20,30,30)]\). U programu Rhino formirajte četiri lejera te u njih redom spremite rješenja sljedećih zadataka.

  • Modelirajte dio jednokrilnog hiperboloida \(\small \Phi\) koji nastaje rotacijom dužine \(\small \overline{AB}\) oko osi \(\small z\) (slika 475)
  • Konstruirajte jednu izvodnicu drugog sustava hiperboloida \(\small \Phi\) pa njezinom rotacijom oko osi \(\small z\) modelirajte istu plohu (slika 476)
  • Modelirajte hiperboloid \(\small \Phi\) kao plohu koja nastaje rotacijom hiperbole oko osi \(\small z\) (slika 477)
  • U točki \(\small T\in\Phi\), \(\small T(-30,0,-)\), koja leži na gornjem dijelu plohe, konstruirajte dvije izvodnice hiperboloida \(\small \Phi\), a zatim i dirnu ravninu plohe \(\small \Phi\) u točki \(\small T\) (slika 478)
Slika 475
Slika 476
Slika 477
Slika 478

Rješenje: video 56 i video 57

Hiperbolički paraboloid

Zadatak 2: Modelirajte dio plohe hiperboličkog paraboloida \(\small \Psi\) koji je određen:

  • vitoperim četverovrhom \(\small ABCD\) (slika 479), gdje je \(\small A(-15,-8,18)\), \(\small B(9,-8,0)\), \(\small C(9,16,18)\) i \(\small D(-15,16,0)\)
  • vitoperim četverovrhom \(\small EFGH\) (slika 480), gdje je \(\small E(-10,-10,19)\), \(\small F(10,5,-1)\), \(\small G(-5,25,25)\) i \(\small H(-15,5,4)\)

  • ravnalicama \(\small l_1\), \(\small l_2\) i \(\small l_3^\infty\) (slika 481), gdje je

    • \(\,\,l_1=KL[K(-20,-20,25),L(40,-20,-5)]\)
    • \(\,\, l_2=MN[M(-50,20,-5),N(30,20,35)]\)

    • \(\,\, l_3^\infty\) je beskonačno daleki pravac vertikalne ravnine koja prolazi točkama \(\small P(35,-30,0)\) i \(\small Q(5,30,0)\)

  • parabolom \(\small b\) koja klizi po paraboli \(\small a\) (slika 482), gdje obje parabole imaju tjemena u točki \(\small (0,0,10)\), os na koordinatnoj osi \(\small z\), a

    • parabola \(\small a\) prolazi točkom \(\small (20,0,20)\)

    • parabola \(\small b\) prolazi točkom \(\small (10,20,0)\)

  • Neka je \(\small T\in\Psi\) i \(\small T(0,0,-)\). Konstruirajte dvije izvodnice i tangencijalnu ravninu hipara \(\small \Psi\) u njegovoj točki \(\small T\)
Slika 479
Slika 480
Slika 481
Slika 482

Rješenje: video 58, video 59, video 60 i video 61

Konoid višeg reda

Zadatak 3: Ravnalice konoida su parabola \(\small p\) te pravci \(\small l_1\) i \(\small l_2^\infty\):

  • \(\small p\) prolazi točkom \(\small (10,-20,0)\), tjeme joj je \(\small (0,-20,10)\), a os paralelna s osi \(\small z\)
  • \(\small l_1\) se podudara s osi \(\small x\)
  • \(\small l_2^\infty\) je beskonačno daleki pravac \(\small yz\) ravnine

Koliki je stupanj tako zadane plohe i zašto? Modelirajte sljedeće:

  • Dio konoida koji se nalazi iznad \(\small xy\) ravnine, a između njegovih ravnalica \(\small p\) i \(\small l_1\) (slika 483).
  • Dio konioda koji se nalazi između njegovih ravnalica \(\small p\) i \(\small l_1\), a omeđen je vertikalnim ravninama \(\small x=15\) i \(\small x=-15\) (slika 484).
  • Dio plohe koji ste modelirali u prethodnom zadatku rotirajte oko osi \(\small z\) za kuteve od \(\small 90^\circ\), \(\small 180^\circ\) i \(\small 270^\circ\), tako da dobijete objekt koji se sastoji od 4 sukladna dijela. Uklonite one dijelove dobivenih ploha koji se nalaze ispod njihovih prodornih krivulja. U horizontalnoj ravnini konstriurajte kvadrat čiji su vrhovi krajnje točke prodornih krivulja tih ploha. Modelirani objekt omeđite sa četiri ravnine od kojih svaka sadrži jednu stranicu kvadrata i tjemenu točku odgovarajuće parabole konoida (vidi slike 485 i 486).
Slika 483
Slika 484
Slika 485
Slika 486

Rješenje: video 62 i video 63