Afinitet - mnogokut

Afina slika mnogokuta je mnogokut s istim brojem stranica i vrhova. Budući da afinitet ne čuva udaljenosti točaka ni veličinu kuta između pravaca, pravilni se mnogokuti neće preslikavati u pravilne. No kako afnitet čuva paralelnost pravaca i djelišne omjere dužina, sva svojstva mnogokuta vezana uz te relacije ostat će sačuvana pri afinom preslikavanju.

Na interaktivnoj slici 33 zadani su afinitet ${\small (o, X_1, X_2)}$ i jednakostranični trokut ${\small \triangle A_1B_1C_1}$ . Treba konstruirati njegovu afinu sliku, ${\small \triangle A_2B_2C_2}$ .

Interaktivna slika 33

Afinu sliku nekog mnogokuta redovito konstruiramo tako da preko para odredbenih točaka konstruiramo sliku jednoga njegovog vrha.
Slike ostalih vrhova mnogokuta konstruiramo na temelju svojstava afiniteta: pravci na kojima leže pridružene stranice sijeku se na osi, a parovi pridruženih točaka leže na zrakama afinosti.
Afina je slika jednakostraničnog trokuta ${\small \triangle A_1B_1C_1}$ raznostraničan trokut ${\small \triangle A_2B_2C_2}$ .
Na interaktivnoj slici možete pomicati točke ${\small A_1}$ i ${\small C_1}$ te time mijenjati položaj i veličinu ${\small \triangle A_1B_1C_1}$ . Dovodite ga u različite položaje prema odredbenim elementima afiniteta i promatrajte kako se mijenja njegova afina slika.
Od četiri karakteristične točke trokuta, samo je težište invarijanta afinog preslikavanja. Zašto?
Na interaktivnoj slici možete pomicati odredbene točaka ${\small X_1}$ i ${\small X_2}$ i tako mijenjati zadani afinitet. Dovedite ih u različite položaje i uočite stalnost konstrukcije.

Na interaktivnoj slici 34 zadani su afinitet ${\small (o, X_1, X_2)}$ i kvadrat ${\small\square A_1B_1C_1D_1}$ . Treba konstruirati njegovu afinu sliku - paralelogram ${\small A_2B_2C_2D_2}$ .

Interaktivna slika 34

Kao i u prethodnom primjeru, prvo je konstruirana točka ${\small A_2}$ , a zatim, na temelju svojstava afiniteta, i slike preostalih vrhova kvadrata.
Dobivena slika ${\small A_2B_2C_2D_2}$ je paralelogram. Zašto?

Na interaktivnoj slici možete pomicati točke ${\small A_1}$ i ${\small D_1}$ te mijenjati položaj i veličinu početnog kvadrata. Dovodite ga u različite položaje prema odredbenim elementima afiniteta i promatrajte kako se mijenja njegova afina slika. Također možete pomicati odredbene točke ${\small X_1}$ i ${\small X_2}$ te tako mijenjati zadani afinitet. Postavljajte i njih u različite položaje.
Kada će se kvadrat preslikati u pravokutnik?

Konstruirana je kružnica kojoj je središte na osi afinosti, a prolazi sjecištima osi i pravaca ${\small A_1B_1}$ odnosno ${\small A_1D_1}$ . Ta kružnica prolazi i točkom ${\small A_1}$ . Zašto?

Postavite li točku ${\small A_2}$ na tu kružnicu (pomicanjem npr. točke ${\small D_1}$ ili ${\small X_2}$ ), afina slika kvadrata ${\small \square A_1B_1C_1D_1}$ bit će pravokutnik. Zašto? (Talesov teorem)

Da li će u tom slučaju i ostali parovi pridruženih vrhova ležati na takvim kružnicama?
Sjecište dijagonala kvadrata preslikava se u sjecište dijagonala afino pridruženog paralelograma. Zašto?

Perspektivno afina slika mnogokuta