Što je perspektivno kolinearna slika neke konike?

Konika je skup od \({\small \infty^1}\) neprekinuto povezanih točaka kojeg svaki pravac njezine ravnine siječe u dvije točke. Prilikom perspektivno kolinearnog preslikavanja neprekinuta povezanost točaka ostat će sačuvana pa će slika konike biti neka krivulja. K tome je svaki pravac u polju dobivene krivulje slika nekog pravca iz polja konike koji tu koniku siječe u dvije točke (realne i različite, realne koje su pale zajedno ili konjugirano imaginarne). Budući da će, zbog kolinearnosti, sjecišta ostati sačuvana zaključujemo da je perspektivno kolinearna slika konike također konika.

Što je perspektivno kolinearna slika neke kružnice? To je svakako neka konika čiji će tip ovisiti o njezinim sjecištima s beskonačno dalekim pravcem. Budući da je beskonačno daleki pravac slika izbježnog pravca možemo zaključiti:

  • Ako kružnica ne siječe realno izbježni pravac, njezina je perspektivno kolinearna slika elipsa.
  • Ako kružnica dodiruje izbježni pravac, njezina je perspektivno kolinearna slika parabola.
  • Ako kružnica siječe izbježni pravac, njezina je perspektivno kolinearna slika hiperbola.

Na interaktivnoj slici 27 zadana je perspektivna kolineacija \({\small (S, o, C_1, C_2)}\) i kružnica \({\small c_1}\) sa središtem u točki \({\small C_1}\). Izvedite redom korake istaknute na interaktivnoj slici i proučite odgovarajuće komentare.

Interaktivna slika 27

1. korak: Perspektivno kolinearnu sliku kružnice \({\small c_1}\) određujemo tako da konstruiramo slike točaka koje leže na njoj. Na slici je prikazana konstrukcija točke \({\small T_2}\), slike točke \({\small T_1}\). U smjeru obrnutom od kretanja kazaljke sata, pomičite točku \({\small T_1}\). Dakle, slika je zadane kružnice u ovom preslikavanju elipsa.

2. korak: Tangenta kružnice \({\small c_1}\) u njezinoj točki \({\small T_1}\) preslikava se u tangentu elipse \({\small c_2}\) s diralištem u točki \({\small T_2}\). Zašto? Pomičite točku \({\small T_1}\) i uočite da to vrijedi za svaki par pridruženih točaka kružnice i elipse.

3. korak: Pomicanje točke \({\small A_1}\) omogućuje promjenu radijusa kružnice. Mijenjajte radijus kružnice i uočite da dva sjecišta kružnice i njezine slike leže na osi kolineacije \({\small o}\).

Je li konika \({\small c_2}\) uvijek elipsa?

4. korak: Pravac \({\small i_1}\) je izbježni pravac zadane perspektivne kolineacije. Nastavite pomicati točku \({\small A_1}\) i uočite točnost gore navedenih tvrdnji. Postavite kružnicu \({\small c_1}\) u takav položaj da njezina perspektivno kolinearna slika \({\small c_2}\) bude parabola.

Budući da perspektivna kolineacija ne čuva paralelnost pravaca ni polovišta dužina, promjeri i središte kružnice neće se preslikati u promjere i središte njezine perspektivno kolinearne slike.