O zakrivljenosti konika

Slika 6

Pojam zakrivljenosti ravninske krivulje intuitivno nam je vrlo blizak. Na primjer, teško da će netko pogrešno odgovoriti na pitanje da li je zakrivljenost krivulje \({\small k}\) sa slike 6 veća u točki \({\small A}\) ili u točki \({\small B}\)?

Zakrivljenost ravninske krivulje u diferencijalnoj se geometriji računa pomoću druge derivacije vektorski zadane krivulje i mjeri otklon krivulje od tangente. U okviru našega nastavnog predmeta nećemo zakrivljenost tretirati metodama diferencijalne geometrije, kao što nećemo sada ulaziti ni u fizikalnu interpretaciju tog pojma koja je važna budućim inženjerima (s njom ćete se upoznati tijekom studija). Zakrivljenost konika obradit ćemo konstruktivno radi što boljeg razumijevanja pojma hiperoskulacijskih kružnica konika, čija je konstrukcija dana na slikama 11-13.

Zakrivljenost kružnice \({\small c}\) polumjera \({\small R}\) jednaka je za sve njezine točke i iznosi \( \kappa_c=\frac{1}{R}\).

Kružnica će stoga, kao krivulja konstantne zakrivljenosti, služiti za mjerenje zakrivljenosti ostalih krivulja u kojih je ta vrijednost promjenljiva. Što je polumjer kružnice manji, njezina je zakrivljenost veća. Zakrivljenost pravca jednaka je \({\small 0}\) i možemo je interpretirati kao zakrivljenost kružnice beskonačno velikog polumjera.

U regularnoj točki \({\small T}\) krivulje \({\small k}\) promatramo tangentu i normalu. Bilo koja kružnica koja prolazi točkom \({\small T}\), a središte joj leži na normali, ima istu tangentu u \({\small T}\) kao i krivulja \({\small k}\).

Svaka takva kružnica ima s krivuljom \({\small k}\) dvije zajedničke točke podudarne s točkom \({\small T}\) pa kažemo da kružnica i krivulja imaju u točki \({\small T}\) dodir 1. reda, a kružnicu nazivamo dirnom kružnicom krivulje \({\small k}\) u točki \({\small T}\). Dirnih kružnica krivulje \({\small k}\) u točki \({\small T}\) ima beskonačno mnogo (isto koliko i točaka na normali), i one čine pramen dirnih kružnica krivulje \({\small k}\) u točki \({\small T}\). Ako je \({\small k}\) algebarska krivulja reda \({\small n}\), svaka dirna kružnica imat će s njom (osim dodirne točke \({\small T}\) koju brojimo kao \({\small 2}\) sjecišta) još \({\small 2(n-1)}\) zajedničkih točaka.

Slika 7

Animacija 1

U pramenu dirnih kružnica krivulje \({\small k}\) u regularnoj točki \({\small T}\) uvijek postoji jedna kružnica kojoj se i jedno od preostalih \({\small 2(n-1)}\) sjecišta podudara s točkom \({\small T}\), vidi sliku 7. Ta kružnica i krivulja \({\small k}\) imaju tri zajedničke točke koje se podudaraju s točkom \({\small T}\) i kažemo da u \({\small T}\) imaju dodir 2. reda. Tu kružnicu nazivamo oskulacijskom kružnicom krivulje \({\small k}\) u točki \({\small T}\) ili kružnicom zakrivljenosti krivulje \({\small k}\) u točki \({\small T}\). Označavat ćemo ju \({\small o_k(T)}\) i definiramo:

Zakrivljenost krivulje \({\small k}\) u točki \({\small T}\) jednaka je zakrivljenosti njezine oskulacijske kružnice u \({\small T}\), odnosno \(\small \kappa_k(T)=\kappa_{o_k(T)}\).

Ako je krivulja \({\small k}\) u okolini točke \({\small T}\) simetrična u odnosu na normalu, tada će ona sa svojom oskulacijskom kružnicom imati četiri zajedničke točke u \({\small T}\). U takvim slučajevima kažemo da krivulja i kružnica imaju dodir 3. reda ili da se hiperoskuliraju, a kružnicu nazivamo hiperoskulacijskom kružnicom krivulje \({\small k}\).

Oskulacijske i hiperoskulacijske kružnice konika

Dirna kružnica konike \({\small k}\) u točki \({\small T}\) ima s konikom, osim dodirne točke \({\small T}\), još dva sjecišta. Sjecišta mogu biti realna i različita, mogu se podudarati te tada kružnica i konika imaju dvije dodirne točke 1. reda, a mogu biti i konjugirano imaginarna. U svakom od tih slučajeva postoje okoline točke \({\small T}\) u kojima se luk dirne kružnice u cijelosti nalazi s iste strane konike, odnosno leži ili u njezinoj unurtašnjosti (interioru) ili vanjštini (eksterioru).

Oskulacijska kružnica konike jedinstvena je za svaku njezinu točku \({\small T}\). Budući da u točki \({\small T}\) te dvije krivulje imaju dodir 2. reda, dakle tri sjecišta koja su pala u istu točku \({\small T}\), svaka oskulacijska kružnica siječe koniku još u jednoj realnoj točki. To sjecište i točka \({\small T}\) dijele oskulacijsku kružnicu na dva kružna luka od kojih jedan pripada unutrašnjosti, a drugi vanjštini konike. U svakoj okolini točke \({\small T}\) jedan dio luka oskulacijske kružnice leži u unutrašnjosti, a drugi u vanjštini konike. Možemo reći da je oskulacijska kružnica konike u točki \({\small T}\) kružnica koja ju u točki \({\small T}\) dodiruje i siječe.

Hiperoskulacijske kružnice konika su njezine kružnice zakrivljenosti u tjemenim točkama. Naime, budući da tjemena konike leže na njezinim osima simetrije (a osi su ujedno i normale u tjemenima) bit će i sjecišta dirnih kružnica konike u takvim točkama simetrična s obzirom na normalu. Stoga u slučaju oskulacije, kad jedna presječna točka dirne kružnice i konike padne u diralište, mora u diralište pasti i druga presječna točka, to jest kružnica zakrivljenosti i konika imaju četiri zajedničke točke u tjemenu. Budući da konika i njezina hiperoskulacijska kružnica sve četiri zajedničke točke imaju u svom diralištu, ne mogu izvan dirališta imati više ni jednu zajedničku točku, pa sve ostale točke hiperoskulacijske kružnice leže ili u unutrašnjosti ili u vanjštini konike.

Elipsa ima četiri realna tjemena, a hiperbola i parabola po dva, s tim da je jedno realno tjeme parabole u beskonačnosti.

Zakrivljenost konike u njezinu tjemenu poprima ekstremnu vrijednost.

Na interaktivnoj slici 14 dane su grafičke interpretacije navedenih svojstava.

Interaktivna slika 14

U svakoj točki konike postoji jedinstvena normala i na njoj jedinstveno središte oskulacijske kružnice konike u toj točki. Giba li se točka neprekinuto po konici, opisivat će središta pripadnih oskulacijskih kružnica jednu algebarsku krivulju kojoj će odgovarajuće normale biti tangente. Tu krivulju nazivamo evolutom konike.

Na interaktivnim slikama 15-17 prikazane su evolute elipse, parabole i hiperbole. Animirajte dane primjere ili pomičite točku na konici.

Interaktivna slika 15

Interaktivna slika 16

Interaktivna slika 17

Na slikama 8-10 dane su konstrukcije središta oskulacijskih kružnica u točkama elipse, parabole i hiperbole.