3. LOKALNI EKSTREMI

Definicija 4.  EKSTREMI FUNKCIJE

Neka je I otvoreni interval, I⊆ R.
Za funkciju f : I→ R kazemo da u točki c∈ I ima :

        (a)  lokalni maksimum f(c) ako postoji δ>0 takvo da
        ( |x-c| < δ ) ⇒ ( f(x) ≤ f(c) );
        
        (a')  strogi lokalni maksimum f(c) ako postoji δ>0 takvo da
        ( 0 < |x-c| < δ ) ⇒ ( f(x) <  f(c));
        
        (b)   lokalni minimum f(c) ako postoji δ>0 takvo da
        ( |x-c| < δ ) ⇒ ( f(x) ≥  f(c) );
        
        (b')  strogi lokalni minimum f(c) ako postoji δ>0 takvo da
        ( 0 < |x-c| < δ ) ⇒ ( f(x) >  f(c));
        
        (c)   lokalni ekstrem f(c) ako f u c ima
         lokalni maksimum  ili lokalni minimum;
         
        (c') strogi lokalni ekstrem f(c) ako f u c ima
         stogi lokalni maksimum ili strogi lokalni minimum.  

Definicija 5.   STACIONARNA TOČKA

Točka c je stacionarna točka funkcije fako je f diferencijabilna u točki c i ako je f'(c)=0.

ZAPAMTIMO
STACIONARNE TOČKE su MOGUĆE točke  lokalnog EKSTREMA derivabilne  funkcije.

Taylorova formula  funkcije f za n=1:

f(x) = f(a)+,   c ∈ (a,x)

ili

f(x) = f(a)+,  θ∈(0,1).

Taylorova formula funkcije f  za n=1, a stacionarna tocka:  

f(x) = f(a)+,   c ∈ (a,x)

LOKALNI EKSTREMI:

f'(a)=0, a-stacionarna tocka;
postoji f''(x),  neprekinuta u okolini tocke a;

Tada
f''(a)>0 → f ima minimum u tocki a;
f''(a)<0 → f ima maksimum u tocki a;
f''(a)=0 → ne znamo

Taylorova formula funkcije f  za n=2k-1, a stacionarna tocka:  

f(x) = f(a)+,   c ∈ (a,x)

LOKALNI EKSTREMI:

f'(a)=0, a-stacionarna tocka;
postoji (x) , k>1, neprekinuta u okolini tocke a;

Ako
f''(a)=0 , ...,

onda
> 0    →   f ima lokalni minimum u tocki a
<0     →   f ima lokalni maksimum u tocki a.

Taylorova formula funkcije f  za n=2k, a stacionarna tocka:  

f(x) = f(a)+,   c ∈ (a,x)

LOKALNI EKSTREMI:

f'(a)=0, a-stacionarna tocka;
postoji (x) , k>1 i neprekinuta u okolini tocke a;

Ako
f''(a)=0 , ...,

onda
≠ 0    →   f nema ekstrem u tocki a.

Created by Mathematica  (November 27, 2003)