3.4.1. Uvodno o pravčastom prostoru

U trodimenzionalnom projektivnom prostoru \(\small \mathbb P^3\) točke i ravnine čine 3-parametarske skupove, pa kažemo da ih ima \(\small \infty^3\).

2-parametarski i 1-parametarski podskupovi prostora \(\small \mathbb P^3\) koji se sastoje od točaka ili ravnina (nazivamo ih i geometrijskim mjestima točaka ili ravnina) su plohe i krivulje.
  • PLOHA - neprekinuto povezan skup od \(\small \infty^2\) točaka ili ravnina (2-parametarski skup). Vidi sliku 413.
  • KRIVULJA - neprekinuto povezan skup od \(\small \infty^1\) točaka ili ravnina (1-parametarski skup). Vidi sliku 414.
Slika 413: PLOHA - neprekinuto povezan skup od \(\small \infty^2\) točaka Slika 414: KRIVULJA - neprekinuto povezan skup od \(\small \infty^1\) točaka

Algebarske plohe i krivulje razvrstavaju se prema njihovu redu i razredu i njih smo, u smislu geometrijskog mjesta točaka, detaljno obrađivali u okviru ovog poglavlja. Za razliku od točaka i ravnina, pravci prostora \(\small \mathbb P^3\) čine 4-parametarski skup, pa kažemo da ih ima \(\small \infty^4\). Stoga u \(\small \mathbb P^3\) možemo promatrati sljedeće podskupove, koje često nazivamo i sustavima pravaca:
  • KOMPLEKS - neprekinuto povezan skup od \(\small \infty^3\) pravaca (3-parametarski skup pravaca)

  • KONGRUENCIJA - neprekinuto povezan skup od \(\small \infty^2\) pravaca (2-parametarski skup pravaca)

  • PRAVČASTA PLOHA - neprekinuto povezan skup od \(\small \infty^1\) pravaca (1-parametarski skup pravaca)
Pravce koji pripadaju kompleksima i kongruencijama nazivamo njihovim zrakama.


Komplekse i kongruencije teško je vizualizirati u prostoru \(\small \mathbb P^3\),
jer prilikom prikaza dobivamo dio prostora koji je cijeli ispunjen njihovim zrakama. Zrake su složene po nekom principu, ali se taj princip ne može očitati sa slike.

Jedan od principa konstrukcije kompleksa je sljedeći:

Neka je \(\small k\) bilo koja krivulja prostora \(\small \mathbb P^3\). Svakom točkom krivulje \(\small k\) prolazi \(\small \infty^2\) pravaca (snop), a kako \(\small k\) ima \(\small \infty^1\) točaka ukupan broj pravaca koji sijeku krivulju \(\small k\) je \(\small \infty^3\), odnosno ti pravci čine kompleks zraka određen krivuljom \(\small k\). Vidi animaciju 66.












Animacija 66

Algebarske komplekse i kongruencije razvrstavamo prema njihovu redu i razredu.
  • Red kompleksa jednak je stupnju stošca što ga čine sve njegove zrake koje prolaze bilo kojom točkom prostora, dok mu je razred jednak razredu krivulje koju omataju njegove zrake koje leže u bilo kojoj ravnini prostora. Za svaki kompleks njegov red i razred uvijek su jednaki, pa govorimo o stupnju kompleksa.
Ako je krivulja \(\small k\) reda \(\small n\), onda je kompleks pravaca koji sijeku tu krivulju stupnja \(\small n\). Na slikama 415 i 416 dane su vizualizacije primjera kompleksa 1. i 2. stupnja. Komplekse 1. stupnja nazivamo linearnim, a one 2. stupnja kvadratnim kompleksima.

Slika 415: Svi pravci prostora koji sijeku zadani pravac čine linearni kompleks (kompleks 1. stupnja)

Slika 416: Svi pravci prostora koji sijeku zadanu koniku čine kvadratni kompleks (kompleks 2. stupnja)

  • Red kongruencije jednak je broju njezinih zraka koje prolaze bilo kojom točkom prostora, dok joj je razred jednak broju
    njezinih zraka koje leže u bilo kojoj ravnini prostora. Kongruenciju reda \(\small n\) i razreda \(\small m\) označavat ćemo \(\small (n,m)-\)kongruencija.
Neka su \(\small k_1\) i \(\small k_2\) krivulje prostora \(\small \mathbb P^3\). Kako je svaka od tih krivulja neprekinuto povezan skup od \(\small \infty^1\) točaka, spojnice točaka krivulje \(\small k_1\) s točkama krivulje \(\small k_2\) čine skup od \(\small \infty^2\) pravaca, odnosno kongruenciju. Dakle, ta je kongruencija presjek dvaju kompleksa određenih krivuljama \(\small k_1\) i \(\small k_2\). Na slikama 417 i 418 dane su vizualizacije primjera \(\small (1,1)\) i \(\small (2,2)\) kongruencija, nazivamo ih linearnom i kvadratnom kongruencijom.

Slika 417: Svi pravci prostora koji sijeku dva mimosmjerna pravca čine linearnu, odnosno \(\small (1,1)-\)kongruenciju


Slika 418: Svi pravci prostora koji sijeku koniku i pravac (konika i pravac se ne sijeku) čine kvadratnu, odnosno \(\small (2,2)-\)kongruenciju

  • Red i razred pravčaste plohe definirani su kao i za sve ostale plohe. Međutim, kod pravčastih ploha ta su dva broja uvijek jednaka pa govorimo o stupnju pravčaste plohe.
U ovom ćemo se odjeljku baviti izvođenjem i nekim svojstvima algebarskih pravčastih ploha. Osnovni teorem, na kojem se temelji naše izvođenje takvih ploha glasi:

Teorem
Algebarska pravčasta ploha uvijek je presjek tri kompleksa ili jednog kompleksa i jedne kongruencije.

Prezentacije 80 i 81 ilustriraju nastajanje kongruencije kao presjeka dvaju kompleksa, a zatim i pravčaste plohe kao presjeka kongruencije i kompleksa.

Prezentacija 80:
linearni kompleks \(\small \rightarrow\) linearna kongruencija \(\small \rightarrow\) ploha 2. stupnja

Prezentacija 81:
kvadratni kompleks \(\small \rightarrow\) (2,2) kongruencija \(\small \rightarrow\) ploha 4. stupnja


Sonja Gorjanc - PERSPEKTIVA (predavanja)