U trodimenzionalnom projektivnom prostoru \(\small \mathbb P^3\) točke i ravnine čine 3-parametarske skupove, pa kažemo da ih ima \(\small \infty^3\).
2-parametarski i 1-parametarski podskupovi prostora \(\small \mathbb P^3\) koji se sastoje od točaka ili ravnina (nazivamo ih i geometrijskim mjestima točaka ili ravnina) su plohe i krivulje.
|
Slika 413: PLOHA - neprekinuto povezan skup od \(\small \infty^2\) točaka | Slika 414: KRIVULJA - neprekinuto povezan skup od \(\small \infty^1\) točaka |
Algebarske plohe i krivulje razvrstavaju se prema njihovu redu i razredu i njih smo, u smislu geometrijskog mjesta točaka, detaljno obrađivali u okviru ovog poglavlja.
Za razliku od točaka i ravnina, pravci prostora \(\small \mathbb P^3\) čine 4-parametarski skup, pa kažemo da ih ima \(\small \infty^4\).
Stoga u \(\small \mathbb P^3\) možemo promatrati sljedeće podskupove, koje često nazivamo i sustavima pravaca:
|
Komplekse i kongruencije teško je vizualizirati u prostoru \(\small \mathbb P^3\), jer prilikom prikaza dobivamo dio prostora koji je cijeli ispunjen njihovim zrakama. Zrake su složene po nekom principu, ali se taj princip ne može očitati sa slike. Jedan od principa konstrukcije kompleksa je sljedeći: Neka je \(\small k\) bilo koja krivulja prostora \(\small \mathbb P^3\). Svakom točkom krivulje \(\small k\) prolazi \(\small \infty^2\) pravaca (snop), a kako \(\small k\) ima \(\small \infty^1\) točaka ukupan broj pravaca koji sijeku krivulju \(\small k\) je \(\small \infty^3\), odnosno ti pravci čine kompleks zraka određen krivuljom \(\small k\). Vidi animaciju 66. |
Animacija 66 |
Algebarske komplekse i kongruencije razvrstavamo prema njihovu redu i razredu.
|
|
Slika 415: Svi pravci prostora koji sijeku zadani pravac čine linearni kompleks (kompleks 1. stupnja) |
Slika 416: Svi pravci prostora koji sijeku zadanu koniku čine kvadratni kompleks (kompleks 2. stupnja) |
|
Slika 417: Svi pravci prostora koji sijeku dva mimosmjerna pravca čine linearnu, odnosno \(\small (1,1)-\)kongruenciju |
Slika 418: Svi pravci prostora koji sijeku koniku i pravac (konika i pravac se ne sijeku) čine kvadratnu, odnosno \(\small (2,2)-\)kongruenciju |
Teorem Algebarska pravčasta ploha uvijek je presjek tri kompleksa ili jednog kompleksa i jedne kongruencije. Prezentacije 80 i 81 ilustriraju nastajanje kongruencije kao presjeka dvaju kompleksa, a zatim i pravčaste plohe kao presjeka kongruencije i kompleksa. |
|
|
|
Prezentacija 80: |
Prezentacija 81: |
Sonja Gorjanc - PERSPEKTIVA (predavanja) |