3.1.2. Algebarske plohe

Algebarska ploha \(n\)-toga reda je skup točaka euklidskog prostora čije koordinate \(\small (x,y,z)\) zadovoljavaju neku algebarsku jednadžbu \(\small F^n(x,y,z)=0\), gdje je \(\small F^n(x,y,z)\) polinom \(\small n\)-tog stupnja. Takve se plohe razvrstavaju prema njihovu redu i razredu, pri čemu je red plohe jednak stupnju njezine algebarske jednadžbe. U okviru našeg predmeta, kao definiciju reda, koristit ćemo sljedeću geometrijsku interpretaciju:
  • Red algebarske plohe jednak je broju njezinih sjecišta s bilo kojim pravcem prostora koji ne leži na toj plohi.\(^*\)
Ta sjecišta mogu biti realna i različita, dva ili više realnih sjecišta mogu pasti u istu točku, a mogu u parovima biti i konjugirano imaginarna. Primjerice, pravac koji je tangenta plohe, imat će s plohom dvije zajedničke točke u njihovom diralištu.

Skup točaka koje leže na nekoj plohi i u nekoj ravnini nazivamo ravninskim presjekom plohe. Svaki ravninski presjek neke algebarske plohe je ravninska algebarska krivulja. Na temelju definicija za redove algebarskih ploha i ravninskih algebarskih krivulja zaključujemo sljedeće:
  • Red algebarske plohe jednak je redu bilo kojeg njezinog ravninskog presjeka.
Pojam koji je dualan redu algebarske plohe je razred algebarske plohe. Definiramo ga na sljedeći način:
  • Razred algebarske plohe jednak je broju njezinih tangencijalnih ravnina kroz bilo koji pravac prostora koji ne leži na toj plohi.
Ako su red i razred neke plohe jednaki \(\small n\), kažemo da je ta ploha \(\small n\)-tog stupnja.

Primjer: \(\small x^2+y^2+z^2-r^2=0\) je jednadžba sfere polumjera \(\small r\) sa središtem u ishodištu.
  • Svaki pravac prostora siječe sferu u dvije točke koje mogu biti realne i različite, realne i poklopljene (ako je pravac tangenta sfere) ili imaginarne. Vidi sliku 315.
  • Svakim pravcem prostora prolaze dvije tangencijalne ravnine sfere. One mogu biti realne i različite (ako pravac nema realnih sjecišta sa sferom), mogu se poklapati (ako je pravac tangenta sfere), a mogu biti i konjugirano imaginarne (ako pravac siječe sferu u dvije realne različite točke). Vidi sliku 316.




Slika 315: Probodišta pravca i sfere
Slika 316: Tangencijalne ravnine sfere kroz neki pravac


Na sljedećim su slikama prikazani primjeri algebarskih ploha reda većeg od 2.

Slika 317: Plückerov konoid – pravčasta ploha 3. stupnja određena jednadžbom \(\small z \left(x^2+y^2\right)-(3 x^2+y^2)=0\)

Slika 318: Whitneyjev kišobran – pravčasta ploha 3. stupnja određena jednadžbom \(\small x^2+y^2 z=0\)


Slika 319: Torus – ploha 4. reda određena jednadžbom \(\small \left(x^2+y^2+z^2\right)^2-8 \left(5 x^2+5 y^2-3 z^2\right)+144=0 \)

Slika 320: Goursatova ploha – ploha 4. reda određena jednadžbom \(\small x^4+y^4+z^4-(x^2+y^2+z^2)+\frac{1}{2}=0\)





\(^*\) Algebarska ploha 1. reda je ravnina. Zadana je linearnom algebarskom jednadžbom \(\small a\cdot x+b\cdot y+c\cdot z+d=0, \, a,b,c\in\mathbb R\).
Pravac se u prostoru određuje s dvije linearne algebarske jednadžbe. Naime, možemo ga promatrati kao presječnicu dviju ravnina, pa je to skup točaka čije koordinate zadovoljavaju dvije linearne algebarske jednadžbe. Nadalje, tri algebarske jednadžbe s tri nepoznanice, stupnjeva \(\small k\), \(\small l\) i \(\small m\), imaju općenito \(\small k\cdot l\cdot m\) rješenja. Stoga, tri algebarske jednadžbe, stupnjeva \(\small n\), 1 i 1, imaju općenito \(\small n\) rješenja.



Sonja Gorjanc - GeomTeh3D - Razvojni projekt Sveučiliša u Zagrebu