2.1.3. Geometrijska tijela

Osnovna je podjela geometrijskih tijela na uglata (poliedri) i obla.

Poliedri

Poliedar je geometrijsko tijelo omeđeno mnogokutima (mora ih biti najmanje četiri). Te mnogokute nazivamo stranama poliedra, stranice tih mnogokuta nazivamo bridovima poliedra, a njihove vrhove vrhovima poliedra. Prostorna dijagonala poliedra je svaka dužina koja spaja dva vrha poliedra koji ne leže na istim stranama. Konveksni poliedri su oni kojima sve dijagonale leže unutar njih. Ovdje ćemo se uglavnom baviti konveksnim poliedrima.


Slika 41: Primjer konveksnog poliedra – kvadar Slika 42: Primjer nekonveksnog poliedra

Platonova tijela

Pravilni poliedri su oni kojima su sve strane sukladni pravilni mnogokuti, a svi su kutovi između tih strana jednaki. Postoji ih samo pet i nazivaju se Platonova tijela. To su:
Slika 43: Tetraedar


Slika 44: Heksaedar


Slika 45: Oktaedar


Slika 46: Dodekaedarpodsjetnik
konstrukcija pravilnog peterokuta (Prezentacija 2)


Slika 47: Ikosaedar


Prizme

Prizma je poliedar čije su dvije strane dva sukladna mnogokuta koji imaju paralelne odgovarajuće stranice i leže u paralelnim ravninama. Te mnogokute nazivamo osnovkama ili bazama prizme. Ostale strane prizme čine paralelogrami koji spajaju odgovarajuće stranice baza. Te paralelograme nazivamo pobočkama prizme, a dužine koje spajaju odgovarajuće vrhove baza nazivamo pobočnim bridovima prizme, a skup svih pobočki nazivamo pobočjem prizme. Visina je prizme jednaka udaljenosti njezinih baza.

Prizme kojima su pobočni bridovi okomiti na ravnine baza nazivamo uspravnim, a ostale kosim prizmama. Bridovi uspravne prizme jednaki su njezinoj visini, a pobočke uspravne prizme su pravokutnici. Uspravnu prizmu kojoj su baze pravilni poligoni nazivamo pravilnom prizmom, njezine su pobočke međusobno sukladni pravokutnici.

Slika 48: Pravilna šesterostrana prizma Slika 49: Kosa šesterostrana prizma


Piramide

Neka su u prostoru dani jedan konveksni mnogokut \({\small \mathcal B}\) i točka \({\small V}\) koja ne leži u ravnini tog mnogokuta. Poliedar kojeg omeđuju mnogokut \({\small \mathcal B}\) te trokuti \({\small \triangle VB_iB_j}\) (gdje su \({\small B_i}\), \({\small B_j}\) dva susjedna vrha mnogokuta \({\small \mathcal B}\) ) nazivamo piramidom.

Mnogokut \({\small \mathcal B}\) nazivamo osnovkom ili bazom piramide, točku \({\small V}\) vrhom, trokute \({\small \triangle VB_iB_j}\) njezinim pobočkama, dužine \({\small \overline{VB_i}}\) pobočnim bridovima, a skup svih pobočki \({\small \triangle VB_iB_j}\) nazivamo pobočjem piramide. Visina piramide jednaka je udaljenosti vrha \({\small V}\) od ravnine osnovke.

Za piramidu kažemo da je uspravna ako se nožište okomice iz vrha \({\small V}\) na ravninu njezine baze podudara sa središtem te baze. Ova definicija ima smisla jedino u slučajevima kad baza ima središte, odnosno kad je to primjerice pravilan mnogokut, pravokutnik ili bilo koji tetivni mnogokut. Stoga samo u takvim slučajevima definiramo uspravnu piramidu. Sve pobočke takve piramide su jednakokračni trokuti. Ostale piramide nazivamo kosim piramidama.

Ako je osnovka uspravne piramide pravilan mnogokut, kažemo da je to pravilna piramida. Pobočke pravilne piramide su sukladni jednakokračni trokuti.



Slika 50: Pravilna šesterostrana piramida Slika 51: Kosa šesterostrana piramida

Obla tijela

Obla su tijela ona koja na svojoj granici osim ravnih dijelova imaju i dio koji pripada barem jednoj zakrivljenoj plohi. Takva tijela mogu na rubu imati primjerice samo jednu zakrivljenu plohu.

Valjci

Ovdje ćemo pod pojmom valjka podrazumijevati isključivo kružne valjke. Takvo je tijelo omeđeno s dva sukladna kruga \({\small \mathcal K_1(S_1,r)}\) i \({\small \mathcal K_2(S_2,r)}\), s graničnim kružnicama \({\small k_1}\) i \({\small k_2}\), koji leže u paralelnim ravninama i nazivamo ih osnovkama ili bazama valjka, te zakrivljenom plohom koju čine sve dužine \({\small \overline{T_1T_2}}\), gdje je \({\small \overline{T_1T_2}\parallel\overline{S_1S_2},\,T_1\in k_1,\,T_2\in k_2}\). Tu zakrivljenu plohu nazivamo plaštom valjka, a spojnice \({\small \overline{T_1T_2}}\) izvodnicama valjka. Sve izvodnice valjka su sukladne.

Spojnica \({\small \overline{S_1S_2}}\) je os valjka. Ako je os valjka okomita na ravnine njegovih osnovki, valjak je uspravan, a svaki takav kružni valjak je ujedno i rotacijski, jer njegov plašt nastaje rotacijom dužine \({\small \overline{T_1T_2}}\) oko osi \({\small \overline{S_1S_2}}\). Duljina izvodnice takvog valjka jednaka je njegovoj visini. Svi su ostali valjci kosi.

Ravninu koja sadrži os valjka, nazivamo ravninom osnog presjeka valjka. Svaka takva ravnina siječe rotacijski valjak po pravokutniku. Ako je osni presjek valjka kvadrat, odnosno ako je duljina izvodnice valjka jednaka dvostrukom radijusu njegove osnovke, kažemo da je valjak jednakostraničan.
Slika 52: Uspravni kružni valjak – rotacijski valjak Slika 53: Kosi kružni valjak


Stošci

Kao i kod valjaka, pod pojmom stošca podrazumijevat ćemo kružni stožac. Ako je \({\small \mathcal K}\) neki krug, \(\small {\mathcal k}\) njegova rubna kružnica, a \({\small V}\) bilo koja točka koja ne leži u ravnini kruga \({\small \mathcal K}\), onda tijelo omeđeno krugom \({\small \mathcal K}\) i zakrivljenom plohom što ju čine sve dužine \({\small \overline{VT}}\), gdje je \({\small T\in k}\), nazivamo stošcem. Krug \({\small \mathcal K}\) nazivamo osnovkom ili bazom stošca, zakrivljenu plohu njegovim plaštom, a spojnice \({\small \overline{VT}}\) izvodnicama stošca.

Spojnicu \({\small \overline{VS}}\), gdje je \({\small S}\) središte osnovke stošca, nazivamo os stošca. Ako je os stošca okomita na ravninu njegove osnovke, stožac je uspravan, a u ostalim slučajevima je kosi. Uspravni kružni stošci su ujedno i rotacijski, a njihov plašt nastaje rotacijom izvodnice \({\small \overline{VT}}\) oko osi \({\small \overline{VS}}\).

Svaku ravninu koja sadrži os stošca, nazivamo ravninom osnog presjeka stošca. Svaki osni presjek rotacijskog stošca je jednakokračan trokut. Ako je taj trokut istostraničan, odnosno ako je duljina izvodnice jednaka dvostrukom radijusu osnovke, kažemo da je stožac jednakostraničan.
Slika 54: Uspravni kružni stožac – rotacijski stožac Slika 55: Kosi kružni stožac


Kugla

Kugla je skup točaka prostora čija je udaljenost od jedne čvrste točke \({\small S}\) manja ili jednaka nekoj pozitivnoj konstanti \({\small r}\). Točku \({\small S}\) nazivamo središtem kugle, a broj \({\small r}\) njezinim polumjerom ili radijusom.

Kugla je primjer tijela koje je omeđeno samo jednom plohom. Kugla je omeđena sferom, odnosno skupom točaka koje su od \({\small S}\) udaljene za \({\small r}\).

Sve ravninske krivulje na sferi su kružnice. Kružnice na sferi koje imaju isto središte kao sfera imaju i isti polumjer kao ona, a nazivamo ih glavnim kružnicama sfere.

Presječne kružnice sfere s paralelnim horizontalnim ravninama nazivamo paralelama, a paralelu najvećeg polumjera ekvatorom.

Glavne kružnice sfere koje prolaze krajnjim točkama vertikalnog dijametra sfere (polovima), nazivamo meridijanima.



Slika 56: Sfera Slika 57: Paralele Slika 58: Meridijani



Sonja Gorjanc - GeomTeh3D - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu