1.2.1. Uvodno o algebarskim krivuljama

Ravninska algebarska krivulja \(n\)-tog reda je skup svih točaka \(\small T(x,y)\) čije koordinate zadovoljavaju algebarsku jednadžbu
\(\small f^n(x,y)=0\), gdje je \(\small f^n(x,y)\) polinom \(\small n\)-tog stupnja.
Primjerice, jednadžbom \({\small 2x^2 y+y^3 -2x^2 -3x-33y+32=0}\) zadana je plava krivulja 3. reda na slici 2.

Bézoutov teorem
Neka su \(\small k^m\) i \(\small k^n\) algebarske krivulje redova \(\small m\) i \(\small n\) koje nemaju zajedničkih dijelova, odnosno polinomi koji ih određuju nemaju zajednički faktor, tada se krivulje \(\small k^m\) i \(\small k^n\) sijeku se u točno \({\small m\cdot n}\) točaka.

Sjecišta algebarskih krivulja mogu biti realna ili imaginarna. Ako su realna mogu se podudarati i tada ih brojimo kao više sjecišta, dok su imaginarna sjecišta uvijek u paru, štoviše, ona su konjugirana.

PRIMJER: Os \(\small x\), koja je u Kartezijevom koordinatnom sustavu određena jednadžbom \(\small y=0\), i graf kvadratne funkcije \(\small f(x)=ax^2+bx+c\) sijeku se u točkama \(\small ((-b\pm\sqrt{b^2-4ac})/2a,0)\). To su dvije realne i različite točke ako je \(\small b^2-4ac>0\), jedna realna koju dvostruko brojimo ako je \(\small b^2-4ac=0\) ili par konjugirano imaginarnih sjecišta ako je \(\small b^2-4ac<0\).

Slika 2: Šest realnih i različitih sjecišta krivulje 3. reda i kružnice zadane jednadžbom \({\small x^2 +y^2 -25=0}\).

Kako je pravac krivulja 1. reda (zadan je linearnom algebarskom jednadžbom \({\small ax+by+c=0}\)), broj je njegovih sjecišta s ravninskom algebarskom krivuljom \(\small n\)-tog reda jednak \(\small n\). Stoga ćemo u okviru našeg kolegija upravo tu činjenicu koristiti pri definiciji reda:

  • Red ravninske algebarske krivulje jednak je broju njezinih sjecišta s bilo kojim pravcem njezine ravnine.

    Kao što smo spomenuli, ta sjecišta mogu biti konjugirano imaginarna pa ih ne možemo grafički prikazati u realnoj ravnini. Mogu biti realna, ali padati u istu točku. Tada je ta točka višestruka točka krivulje ili je pravac tangenta krivulje.

    Interaktivna slika 1

    Algebarske krivulje su skupovi od \({\small \infty^1}\) neprekinuto povezanih točaka. Za neki pravac koji prolazi kroz dvije neizmjerno blize realne točke krivulje (granični slučaj sekante), kažemo da je tangenta krivulje. Točku u kojoj se nalaze dva neizmjerno bliza sjecišta tangente i krivulje, nazivamo diralištem tangente. Pravac koji prolazi diralištem i okomit je na tangentu nazivamo normalom krivulje u tom diralištu.

    • Ako krivulja realno siječe beskonačno daleki pravac, tada njezinu tangentu u tom beskonačno dalekom diralištu nazivamo asimptotom.

    Interaktivna slika 2

    Točke krivulje u kojima postoji jedinstvena tangenta nazivamo regularnim točkama krivulje. Takve su gotovo sve točke algebarske krivulje. Pored regularnih, na algebarskim krivuljama mogu postojati i singularne točke u kojima krivulja ima više tangenata. To su primjerice dvostruke točke u kojima krivulja samu sebe siječe i ima dvije tangente. Broj takvih točaka algebarske krivulje je ograničen i vrijedi:

    Teorem
    Prava ravninska algebarska krivulja \(\small n\)-tog reda može imati najviše \(\small (n-1)(n-2)/2\) dvostrukih točaka.

    Ako krivulja reda \(\small n\) ima više od dozvoljenog broja dvostrukih točaka, raspast će se na krivulje nižih redova tako da zbroj redova svih krivulja u raspadu bude \(\small n\).

    Na slici 3 prikazane su jedna prava (neraspadnuta) krivulja 4. reda s 3 dvostruke točke i četiri slučaja raspada krivulje 4. reda na krivulje nižih redova.

    Slika 3



    Sonja Gorjanc - GeomTeh3D - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu, izrađeno GeoGebrom