Zavojnica i zavojna ploha

Gibanje točke \(\small A\) koja istovremeno jednoliko rotira oko neke osi \(\small o\) i jednoliko se pravocrtno giba u smjeru te osi nazivamo zavojitim gibanjem. Putanja točke \(\small A\) pri takvom gibanju je prostorna krivulja koju nazivamo cilindrična zavojnica ili samo zavojnica. Ta krivulja leži na rotacijskom valjku kojem je pravac \(\small o\) os, a polumjer jednak udaljenosti točke \(\small A\) od osi. Os valjka ujedno je i os zavojnice.

Zavojnica je prostorna krivulja koja nije aglebarska, koordinate njenih točaka ne zadovoljavaju algebarske jednadžbe. Stoga je broj njezinih probodišta s ravninama prostora varijabilan, neke ju ravnine sijeku u beskonačno mnogo točaka.
Zbog jednolikosti istovremenih gibanja, omjer između duljine pravocrtnog pomaka i kuta rotacije isti je za svaku točku zavojnice. Također, kut što ga tangenta zavojnice zatvara s njezinom osi isti je za svaku točku zavojnice. Na slici XY uočite geometrijsku interpretaciju osnovnih pojmova vezanih uz zavojnicu.
  • \(\small v_0=\frac{z}{\alpha}=const.\)
    parametar zavojnice

  • \(\small v=2\pi\cdot v_0=d(A,B)\)
    korak ili visina hoda zavojnice

  • \(\small \Phi\)
    kut uspona zavojnice

  • zavoj
    Dio zavojnice između dviju njezinih točaka kojima je visinska razlika jednaka koraku zavojnice (na primjer od \(\small A\) do \(\small B\)).




Slika XY
Zavojnica je geodetska linija valjka, odnosno ona je najkraća linija na valjku koja spaja njegove dvije točke (ukoliko te točke ne leže na istoj izvodnici valjka). Ako se plašt valjka razvije u ravnunu, zavojnica će se razviti u dužinu (vidi sliku A).

Ovisno o smjeru rotacije kod zavojitog gibanja, razlikujemo desnu i lijevu zavojnicu. Desna zavojnica nastaje ako se točka giba u smjeru kazaljke sata, a lijeva ako se giba u suprotnom smjeru (vidi sliku B).

Slika A
Slika B



Zavojne plohe

Zavojne pravčaste plohe nastaju zavojitim gibanjem nekog pravca \(\small i\) oko neke osi \(\small o\). Ovisno o položaju pravca \(\small i\) prema osi \(\small o\) razlikujemo sljedeće:
  • zatvorena uspravna zavojna ploha\(-\) pravac \(\small i\) siječe os \(\small o\) i okomit je na nju

  • zatvorena kosa zavojna ploha \(-\) pravac \(\small i\) siječe os \(\small o\) pod kutem koji je različit od pravog

  • otvorena uspravna zavojna ploha \(-\) pravac \(\small i\) mimosmjeran je s osi \(\small o\) i okomit je na nju

  • otvorena kosa zavojna ploha \(-\) pravac \(\small i\) mimosmjeran je s osi \(\small o\) i nije na nju okomit.

Animacija: Zatvorena uspravna

Animacija: Zatvorena kosa

Animacija: Otvorena uspravna

Animacija: Otvorena kosa



U primjeni ćemo koristiti dijelove samo zatvorenih zavojnih ploha. Tim ćemo plohama aproksimirati dijelove prometnica u krivini i nagibu te plohe nasipa i usjeka uz takve prometnice.


Slika: Dijelovi zatvorenih zavojnih ploha


Sve ravnine kroz os \(\small o\) sijeku zavojnu plohu po pravcima koje nazivamo izvodnicama plohe. Putanja svake točke izvodnice \(\small i\) je zavojnica.


Slika: Na zavojnim plohama zavojnice ćine sistem krivulja




izradila Sonja Gorjanc - PERSPEKTIVA (predavanja)