Pravčasti prostor

U trodimenzionalnom projektivnom prostoru \(\mathbb P^3\) točke i ravnine čine 3-parametarske skupove, pa kažemo da ih ima \(\infty^3\).

2-parametarski i 1-parametarski podskupovi prostora \(\mathbb P^3\), koji se sastoje od točaka ili ravnina, su plohe i krivulje.

  • PLOHA - neprekinuto povezan skup od \(\infty^2\) točaka ili ravnina (2-parametarski skup)
  • KRIVULJA - neprekinuto povezan skup od \(\infty^1\) točaka ili ravnina (1-parametarski skup)

    Algebarske plohe i krivulje razvrstavaju se prema njihovu redu i razredu.





    PLOHA - neprekinuto povezan skup od \(\infty^2\) točaka
    KRIVULJA - neprekinuto povezan skup od \(\infty^1\) točaka



    Za razliku od točaka i ravnina, pravci prostora \(\mathbb P^3\) čine 4-parametarski skup, pa kažemo da ih ima \(\infty^4\).
    Stoga u \(\mathbb P^3\) možemo promatrati sljedeće podskupove pravaca:

  • KOMPLEKS - neprekinuto povezan skup od \(\infty^3\) pravaca (3-parametarski skup)
  • KONGRUENCIJA - neprekinuto povezan skup od \(\infty^2\) pravaca (2-parametarski skup)
  • PRAVČASTA PLOHA - neprekinuto povezan skup od \(\infty^1\) pravaca (1-parametarski skup)

    Komplekse i kongruencije razvrstavamo prema njihovu redu i razredu, a pravce koji im pripadaju nazivamo njihovim zrakama.

  • Red kompleksa jednak je stupnju stošca što ga čine sve njegove zrake koje prolaze bilo kojom točkom prostora, dok mu je razred jednak razredu krivulje koju omataju njegove zrake koje leže u bilo kojoj ravnini prostora. Za svaki kompleks njegov red i razred uvijek su jednaki, pa govorimo o stupnju kompleksa.

    Svakom točkom neke krivulje prolazi \(\infty^2\) pravaca.





    LINEARNI kompleks - kompleks 1. stupnja.
    Svi pravci prostora koji sijeku zadani pravac.
    KVADRATNI kompleks - kompleks 2. stupnja.
    Svi pravci prostora koji sijeku zadanu koniku.


    • Red kongruencije jednak je broju njezinih zraka koje prolaze bilo kojom točkom prostora, dok joj je razred jednak broju njezinih zraka koje leže u bilo kojoj ravnini prostora. Kongruenciju reda \(n\) i razreda \(m\) označavat ćemo \((n,m)-\)kongruencija.






    LINEARNA kongruencija - (1,1)-kongruencija.
    Svi pravci prostora koji sijeku dva mimosmjerna pravca.

    KVADRATNA kongruencija - (2,2)-kongruencija.
    Svi pravci prostora koji sijeku koniku i pravac (konika i pravac se ne sijeku).


    • Red i razred pravčaste plohe definirani su kao i za sve ostale plohe. Međutim, kod pravčastih ploha ta su dva broja uvijek jednaka pa kažemo da one imaju određeni stupanj.

    • Algebarska pravčasta ploha uvijek je presjek 3 kompleksa ili 1 kompleksa i 1 kongruencije.


    PRIMJER 1

    PRIMJER 2

    linearni kompleks \(\rightarrow\) linearna kongruencija \(\rightarrow\) ploha 2. stupnja

    kvadratni kompleks \(\rightarrow\) (2,2) kongruencija \(\rightarrow\) ploha 4. stupnja

    Pravčaste se plohe dijele na razvojne i vitopere:

    • Razvojne (razmotljive ili developabilne) pravčaste plohe mogu se bez savijanja i kidanja razviti u ravninu.

    • Vitopere (nerazmotljive) pravčaste plohe NE mogu se bez savijanja i kidanja razviti u ravninu.




    izradila Sonja Gorjanc - PERSPEKTIVA (predavanja)