lat: prospicere - vidjeti ili razabirati



Perspektiva - grafički (Wikipedija)

Centralna projekcija

- Neka su u prostoru dane ravnina \({\small \Pi}\) i točka \({\small O}\) u konačnosti koja ne leži u ravnini \({\small \Pi}\) (\({\small O\notin \Pi}\)).

  • Preslikavanje koje svakoj točki \({\small T\neq O}\) pridružuje točku \({\small T_c}\) koja je probodište pravca \({\small OT}\) i ravnine \({\small \Pi}\) nazivamo
    centralnom projekcijom na ravninu \({\small \Pi}\).

    - Točku \({\small O}\) nazivamo središtem (ili centrom), a pravce \({\small TT_c}\) zrakama te centralne projekcije.

    - Ravninu \({\small \Pi}\) nazivamo ravninom projekcije


    		Za svaku točku \({\small T\neq O}\), jednoznačno je određena njezina centralna projekcija \({\small T_c}\).

    Obrat međutim ne vrijedi, tj. \({\small T_c}\) je ujedno centralna projekcija svih točaka na zraci \({\small OT_c}\).

    PERSPEKTIVA je metoda koja omogućuje i jednoznačnu rekonstrukciju prostornog objekta na temelju njegove centralne projekcije.

    PONOVITE: Osnovni stereometrijski odnosi



    PERSPEKTIVA




    		 \({\small \Pi}\) – ravnina projekcije ili ravnina slike (vertikalni položaj)

    \({\small O}\) – centar projekcije ili očište

    \({\small z }\) – zrake projiciranja ili vidni pravci (snop pravaca kroz \({\small O}\))

    \({\small g }\) – glavna zraka ili os pogleda (vidni pravac okomit na \({\small \Pi}\))

    \({\small O_c }\)– glavna točka (ortogonalna projekcija očišta na ravninu slike)

    \({\small d }\) – distancija (udaljenost očišta od ravnine slike)

    \({\small c }\) – distancijska kružnica (kružnica sa središtem \({\small O_c }\) i polumjerom \({\small d}\))

    		\({\small T_c}\) – perspektivna slika točke \( {\small T}\) (na vidnom pravcu kroz \({\small T}\))

    \({\small \Pi_i}\) – izbježna ravnina (ravnina kroz \({\small O}\) paralelna s \({\small \Pi}\))
    Sve točke izbježne ravnine projiciraju se u beskonačno daleke točke ravnine slike.

    Projiciranje pravca i točke

    \({\small p }\) – bilo koji pravac u općem položaju prema odredbenim elementima projekcije (točki \({\small O }\) i ravnini \({\small \Pi }\)).

    \({\small p^n }\) – nedogledni pravac pravca \({\small p }\) (prolazi očištem i paralelan je s pravcem \({\small p }\)).

    \({\small P }\) – pravo probodište pravca \({\small p }\) (probodište pravca \({\small p }\) i ravnine slike).

    \({\small P^n }\) – nedogled pravca \({\small p }\) (probodište nedoglednog pravca \({\small p^n }\) i ravnine slike, tj. perspektivna slika beskonačno daleke točke pravca \({\small p }\)).

    \({\small p_c }\) – centralna projekcija pravca \({\small p }\).

    \({\small T\in p \Rightarrow T_c\in p_c }\)

    Izbježna točka pravca p je njegovo probodište s izbježnom ravninom. Ta se točka projicira u beskonačno daleku točku pravca \({\small p_c }\).


  • Pravac, koji je u općem položaju prema očištu i ravnini slike, u perspektivi prikazujemo tako da na njegovoj centralnoj projekciji istaknemo njegov nedogled i pravo probodište.

  • Točku u perspektivi prikazujemo tako da istaknemo projekciju jednog pravca na kojem ona leži. Taj pravac nazivamo njezinim nositeljem.

    Ovaj način prikazivanja pravaca i točaka omogućuje jednoznačnu rekonstrukciju prostornog položaja tih elemenata na temelju njihove ravninske slike.




    Svojstva

  • Paralelni pravci imaju isti nedogled, tj. \({\small a\parallel b \Leftrightarrow A^n=B^n }\).

  • Pravci okomiti na ravninu slike imaju nedogled u glavnoj točki, tj. \({\small c\perp \Pi \Leftrightarrow C^n=O_c }\).



    \( a\parallel b \) i \( c\perp \Pi \)


    Posebni pravci

    1. Vidni pravac (zraka projiciranja) projicira se u točku, tj. u svoje probodište s ravninom slike.

    2. Svi pravci izbježne ravnine projiciraju se u beskonačno daleki pravac ravnine slike.

    3. Pravci paralelni s ravninom slike nemaju u konačnosti niti probodište niti nedogled (obje točke podudaraju se s njegovom beskonačno dalekom točkom). Način njihova zadavanja pokazati ćemo kasnije – njihovi će nositelji biti ravnine.

    Ravnina


    		 \({\small \Sigma }\) – bilo koja ravnina koja ne sadrži očište i nije paralelna s ravninom slike.

    \({\small \Sigma^n }\) – nedogledna ravnina ravnine \({\small \Sigma }\)
    (prolazi očištem i paralelna je s ravninom \({\small \Sigma }\)).

    \({\small s }\) – pravi trag ravnine \({\small \Sigma }\)
    (presječnica ravnine \({\small \Sigma }\) i ravnine slike).

    \({\small s^n }\) – nedogledni trag ili nedoglednica ravnine \({\small \Sigma }\)
    (presječnica ravnine \({\small \Sigma^n }\) i ravnine slike).


  • Ravninu u perspektivi zadajemo njenim pravim i nedoglednim tragom.

    • Svojstva

  • Pravi i nedogledni trag uvijek su paralelni.

  • Paralelne ravnine imaju istu nedoglednicu, tj. \({\small \mathbb A\parallel \mathbb B \Leftrightarrow a^n=b^n }\).

  • Nedoglednica ravnine koja je okomita na ravninu slike prolazi glavnom točkom, tj. \({\small \Sigma\perp \Pi \Leftrightarrow O_c\in s^n }\).


    \(\Sigma\parallel \Sigma_1\)



    \(\Sigma\perp \Pi\)


  • Pravci ravnine koji su paralelni s ravninom slike (u ortogonalnim projekcijama nazivali smo ih sutražnicama) projiciraju se paraleno s tragovima ravnine.
    Ako je neka ravnina zadana svojim tragovima \({\small \Sigma (s,s^n) }\) tada centralna projekcija bilo koje njezine sutražnice \({\small a_c }\) jednoznačno određuje položaj te sutražnice u prostoru.

    Međusobni odnosi točaka, pravaca i ravnina

  • Pravac leži u ravnini ako mu je pravo probodište na pravom, a nedogled na nedoglednom pravcu ravnine, tj. \({\small p\subset \Sigma \Leftrightarrow P\in s \wedge P^n\in s^n }\).
  • Pravac je paralelan s ravninom ako mu nedogled leži na nedoglednici ravnine, tj. \({\small p\parallel \Sigma \Leftrightarrow P^n\in s^n }\).
  • Točka leži u ravnini ako leži na nekom pravcu te ravnine.
  • Paralelne ravnine imaju istu nedoglednicu, tj. \({\small \Delta\parallel \Sigma \Leftrightarrow d^n\in s^n }\)
  • Pravo probodište presječnice dviju ravnina leži u sjecištu njihovih pravih tragova, dok je nedogled te presječnice u sjecištu nedoglednica ravnina.



    VJEŽBE: zadaci1, zadaci2







    izradila Sonja Gorjanc - PERSPEKTIVA (predavanja)