06vj_rijesene

Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu
Osnove inženjerske informatike II (Mathematica)
6. vježbe

Integrali

Neodređeni integrali

Zadatak 1.

Koju funkciju treba derivirati da se dobije funkcija f(x)=cos(4x)?
Provjerite, koristeći derivaciju, dobiveni rezultat.

Uputa: Tražena funkcije se dobije integriranjem zadane funkcije f(x).

In[1]:=

Out[1]=

In[2]:=

Out[2]=

Zadaci za vježbu

Zadatak 1.

Koju funkciju treba derivirati da se dobije funkcija f(x)=arctg x? Provjerite, koristeći derivaciju, dobiveni rezultat.

In[3]:=

Out[3]=

In[4]:=

Out[4]=

Zadatak 2.

Izračunajte i deriviranjem provjerite dobiveni rezultat.

In[5]:=

Out[5]=

In[6]:=

Out[6]=

Određeni integrali

Zadatak 1.

Brzina v matrijalne točke, ovisna o vremenu t, zadana je formulom v(t)=0.3·cos+0.5.
Koliki put prijeđe matrijalna točka od =0.2 do =1?

Uputa: Put je jedank određenom integralu brzine od do .

In[7]:=

In[8]:=

Out[8]=

Zadatak 2.

Odredite duljinu luka grafa funkcije f(x)=sin2x nad segmentom [0,]. Rezultat prikažite pomoću 50 znamenki.

Uputa: Duljina luka krivulje y=f(x) nad segmentom [a,b] jednaka je .

In[9]:=

In[10]:=

In[11]:=

Out[11]=

Zadatak 3.

. Definirajte funkciju f(x)=x+sin(+5).
. Crtanjem grafa funkcije f(x) na segmentu [0, 4] provjerite da je funkcije pozitivna na segmentu [1, 3].

In[12]:=

In[13]:=

Out[13]=

. Pomoću opcije Filling->Axis obojite dio ravnine omeđen s osi x, vertikalama x=1 i x=3, te grafom funkcije f. Upotrijebite opciju AxesOrigin->{0,0}, tako da se osi x i y sijeku u ishodištu.

In[14]:=

Out[14]=

. Izračunajte površinu obojenog dijela, tj. od grafa do osi x nad segmentom [1,3].
Uputa: Ako je funkcija pozitivna na zadanom segmentu onda je površina jednaka određenom integralu funkcije nad tim segmentom.

In[15]:=

Out[15]=

Zadatak 4.

a) Definirajte funkciju h(x)=3-x-sin i nacrtajte njezin graf nad segmentom [0,2.5].

In[16]:=

In[17]:=

Out[17]=

b) Odredite volumen rotacijskog tijela koje nastaje rotacijom dijela ravnine od grafa funkcije h(x)=3-x-sin do x osi nad segmentom [0,2.5], oko osi y.
Uputa: Rotacijski volumen jednak je = 2π .

In[18]:=

Out[18]=

d) Pomoću funkcije RevolutionPlot3D, nacrtajte plohu koja nastaje rotacijom gornjeg grafa oko osi y.

In[19]:=

Out[19]=

e) Odredite volumen rotacijskog tijela koja nastaje rotacijom dijela ravnine od grafa funkcije h(x)=3-x-sin do x osi nad segmentom [0,2.5], oko osi x.
Uputa: Rotacijski volumen jednak je = π .

In[20]:=

Out[20]=

f) Pomoću funkcije RevolutionPlot3D, nacrtajte plohu koja nastaje rotacijom gornjeg grafa oko osi x.

In[21]:=

Out[21]=

Zadaci za vježbu

Zadatak 1.

Sila f, ovisna o x, zadana formulom f(x) = 0.4·sin(2x+1)+9.81, vrši rad po x osi od =0.1 do =0.8. Koliki je taj rad?

Uputa: Rad je jednak određenom integralu sile od do .

In[22]:=

Out[22]=

Zadatak 2.

Crtanjem grafa funkcije g(x)=+ln(+3) na segmentu [0, 2.5] provjerite da je funkcije pozitivna na segmentu [1, 2].

In[23]:=

In[24]:=

Out[24]=

Obojite dio ravnine omeđen s osi x, vertikalama x=1 i x=2, te grafom funkcije g.

In[25]:=

Out[25]=

Odredite površinu od grafa do x osi nad segmentom [1, 2] (točnu i približnu vrijednost).

In[26]:=

Out[26]=

In[27]:=

Out[27]=

Zadatak 3.

a) Nacrtajte graf funkcije f(x)=x+ nad segmentom [0,1].

In[28]:=

Out[28]=

b) Odredite volumen rotacijskog tijela koje nastaje rotacijom dijela ravnine od grafa funkcije f(x)=x+ do x osi nad segmentom [0,1], oko osi y.
c) Rezultat prikažite pomoću 30 znamenki.
Uputa: Rotacijski volumen jednak je = 2π .

In[29]:=

Out[29]=

In[30]:=

Out[30]=

d) Pomoću funkcije RevolutionPlot3D, nacrtajte plohu koja nastaje rotacijom gornjeg grafa oko osi y.

In[31]:=

Out[31]=

e) Odredite volumen rotacijskog tijela koja nastaje rotacijom dijela ravnine od grafa funkcije f(x)=x+ do x osi nad segmentom [0,1], oko osi x.
Uputa: Rotacijski volumen jednak je = π .