03pred-novo

Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu
Osnove inženjerske informatike II (Mathematica)
3. predavanje

Algebarsko računanje, definiranje funkcija i njihovi grafovi

Algebarsko računanje

Važno svojstvo Mathematice je to da simbolički računa jednako dobro kao i numerički.
Mi smo već u prethodnim primjerima koristili simboličko računanje (većina primjera u kojima su se pojavljivali simboli a, b, c, x, z, y....)
U Mathematicu je ugrađen velik broj standardnih pravila za transformiranje algebarskih izraza i napišemo li neki algebarski izraz Mathematica će ga automatski "srediti".

In[1]:=

Out[1]=

In[2]:=

Out[2]=

Ponekad nam čak neće niti odgovarati činjenica što Mathematica ima ugrađene "zaštite" protiv pogrešnog računa.

In[3]:=

Out[3]=

Sljedeći primjer prikazuje kako Mathematica "sređuje" izraz .

In[4]:=

Out[4]=

Funkcije Factor, Expand i Simplify

In[5]:=

Out[5]=

Želimo li da Mathematica ispiše gornji polinom u razvijenom obliku (izvrši množenja i potenciranja te rezultat napiše u obliku sume) upotrebljavamo funkciju Expand.

In[6]:=

Out[6]=

Funkcija Factor prikazuje zadani polinom rastavljen na faktore.

In[7]:=

Out[7]=

Koji je oblik algebarskog izraza jednostavniji? Odgovor na to pitanje nije jednoznačan.

Ponekad je jednostavniji razvijeni oblik,

In[8]:=

Out[8]=

In[9]:=

Out[9]=

a ponekad je jednostavniji faktorizirani.

In[10]:=

Out[10]=

Mathematica ima ugrađenu funkciju Simplify, koja često može dobro poslužiti: Mathematica će pregledati moguće oblike i prikazati onaj koji sadrži najmanje dijelova.

In[11]:=

Out[11]=

In[12]:=

Out[12]=

In[13]:=

Out[13]=

In[14]:=

Out[14]=

Naredba Factor dozvoljava faktorizaciju samo s cjelobrojnim koeficijentima.
Stoga, iako je poznato da potpuna faktorizacija polinoma s koeficijentima iz skupa realnih brojeva sadrži samo polinome 1. i 2. stupnja, Mathematica nam često neće faktorizirati onako kako bismo željeli. Na primjer:

In[15]:=

Out[15]=

ili

In[16]:=

Out[16]=

No, ako Mathematicu znamo uputiti gotovo uvijek možemo doći do odgovarajućeg rezultata. Naredbama Factor, Expand i Simplify možemo dodavati neke opcije te ih usmjeravati u nama interesantnom smjeru. Na primjer, opcijom Extension možemo Mathematici dodati popis realnih brojeva za koje želimo da ih uključi pri faktorizaciji. Za gornje primjere to može izgeedati ovako:

In[17]:=

Out[17]=

In[18]:=

Out[18]=

Ili, primjer koji smo već spomenuli:

In[19]:=

Out[19]=

u kojem nam funkcija Simplify, bez dodatnih opcija, neće pomoći.

In[20]:=

Out[20]=

Međutim, funkcija Simplify dozvoljava i određivanje matematičkih uvjeta ili pretpostavki. U tom je slučaju sintaksa sljedeća:
● Simplify[algebarski izraz,uvjet]

In[21]:=

Out[21]=

In[22]:=

Out[22]=

Opcijom Extension i unosom pretpostavke uz narebu Simplify, naveli smo samo dvije od velikog broja dodatnih mogućnosti koje nam Mathematica dozvoljava uz funkcije Factor, Expand i Simplify. Za njihovu obradu, makar i na nivou pobrojavanje, nemamo u okviru našeg kolegija dovoljno prostora. No, ako se nađete u situaciji da vam se Mathematica čini baš "glupom" za zadatak u kojem očekujete njezinu pomoć, pregledajte malo Mathematica Help i najvjerojatnije ćete pronaći način kako da usmjerite rad programa. Ako vam to ne uspije, pregledajte pažljivije, udubite se u primjere....

Pridruživanje vrijednosti simbolima -- znak /.

Želimo li izvršiti supstituciju u nekom matematičkom izrazu, tj. želimo simbole zamijeniti brojevima ili nekim drugim matematičkim izrazima, upotrebljavamo znak /. (sleš-točka, bez razmaka).

In[23]:=

Out[23]=

In[24]:=

Out[24]=

In[25]:=

Out[25]=

In[26]:=

Out[26]=

Funkcija Manipulate

Manipulate je nova funkcija u Mathematici 6.

In[27]:=

In[28]:=

Out[28]=

Definiranje funkcija

U Mathematicu je ugrađen velik broj funkcija, no korisniku često trebaju funkcije kojih nema u programu Mathematica. Stoga je potrebno poznavati postupak definiranja funkcija.
Na primjer, ako vam treba funkcija f(x)= cos(2·x+1) + potrebno ju je definirati, jer ona u programu Mathematica nije definirana.
Pretpostavimo da ćemo nezavisnu varijablu zvati x a funkciju f.
Tada je opći oblik formule za zadavanje funkcije f jednak
● f[x_] := formula za funkciju
Na primjer, gornju funkciju zadat ćemo izrazom:

In[29]:=

Sad možemo računati vrijednost funkcije za bilo koji element iz njezine domene.

In[30]:=

Out[30]=

In[31]:=

Out[31]=

Ili za neki matematički izraz.

In[32]:=

Out[32]=

Možemo tražiti da Mathematica usporedi vrijednosti funkcije za pojedine brojeve.

In[33]:=

Out[33]=

In[34]:=

Out[34]=

Važno:

    f[x_] := formula za funkciju
• Nezavisna varijalba pisana lijevo od  :=  mora završiti znakom  _ (underline).
• Lijeva i desna strana definicije funkcije razdvojene su znakovima :=  a ne samo  znakom =.
• Imena funkcija i varijabli su proizvoljna, jedino treba paziti da ne počinju velikim slovom budući da je takav oblik naziva razerviran za funkcije u Mathematici .
• Ime varijable  ili funkcije NE SMIJE početi brojem niti smije sadržavati znakove aritmetičkih operacija +, - *, /, ^.

Graf funkcije jedne varijable

Mathematica naredba koja omogućuju crtanje grafa funkcije f : I → R, I⊆R,  je Plot, a sintaksa je sljedeća:
                    ● Plot[f(x),{x,,}]
Tako na primjer naredba za crtanje grafa funkcije f(x)= cos(2·x+1) + , za x∈[-1.5,1.5],  izgleda ovako:

In[35]:=

Out[35]=

Ili, budući da smo upravo tu funkciju ranije definirali u Mathematici, možemo pisati:

In[36]:=

Out[36]=

Kako Mathematica određuje veličine jedinica na osima?
U zadatku smo zadali da je x između -1.5 i 1.5. Mathematica izračuna vrijednost funkcije za izvjestan broj točaka u tom intervalu i među tim vrijednostima nađe minimalnu i maksimalnu. Tada veličinu jedinica na osima x i y određuje tako da budu zadovoljeni sljedeći uvjeti:

Utjecati na izgled slike možemo pomoću opcija koje dodajemo naredbi na sljedeći način:
● Plot[f(x),{x,,},opcija1,opcija2,..]

Listu opcija za naredu Plot možemo u Mathematici dobiti na sljedeći način:

In[37]:=

Out[37]=

Ovdje ćemo spomenuti samo neke od njih.

Opcija AspectRatio

In[38]:=

Opcijom AspectRatio izražava se omjer visine i širine slike.

In[39]:=

Out[39]=

In[40]:=

Out[40]=

Kvadratni oblik slike -- AspectRatio -> 1

In[41]:=

Out[41]=

Jednake jedinice na osima -- AspectRatio->Automatic.

In[42]:=

Out[42]=

Opcija AxesLabel

Pomoću opcije AxesLabel imenujemo osi.

In[43]:=

Out[43]=

In[44]:=

Out[44]=

In[45]:=

Out[45]=

In[46]:=

Out[46]=

Opcija PlotStyle

Pomoću opcije PlotStyle možemo definirati boju, debljinu i vrstu linije.
Boju u Mathematici možemo definirati na više načina. Ovdje spominjemo samo funkciju Hue.

In[47]:=

To je funkcija koja brojevima od 0 do 1 pridružuje boju na sljedeći način:

In[48]:=

Out[48]=

Grafovi dviju ili više funkcija nad istim intervalom

Grafove funkcija ,...., : I → R, definiranih na istom intervalu I⊆R, Mathematica crta na istoj slici pomoću sljedeće naredbe:
● Plot[{(x),....,(x)},{x,,}]