Točno zaokružene operacije

Ako se koristi dodatna znamenka (guard digit) prilikom zaokruživanja, pa se zatim rezultat na kraju zaokruži, greška naravno može biti veća nego ako se točan rezultat na kraju zaokruži.

Ako se operacije izvode točno, pa se konačni rezultat zaokruži na najbliži kompjuterski realni broj, onda kažemo da je zaokruživanje točno. Međutim, kompjuteru treba reći koji je to najbliži broj. Da problem bude jasniji, ostanimo kod baze $10,$ i preciznosti $3.$ Za broj $3.123,$ ili $3.128$ jasno je kako ćemo ga zaokružiti. Ako je znamenka koja se odbacuje manja od $5,$ onda se prethodna znamenka ne mijenja. Ako je znamenka koja se odbacuje veća od $5,$ onda se prethodna znamenka uveća za jedan. Postavlja se pitanje kako zaokružiti broj $3.125$? Jedan način je da se prethodna znamenka uveća za jedan. To može dovesti do velike greške.

Primjer 3.32   Prema rekurzivnoj formuli

$$x_{n+1} = (x_n - y) + y$$

treba mnogo puta računati rezultat.

Rješenje. Radi jednostavnosti uzmimo format $(10,3),$ $x=1.00,$ $y=-0.555=-5.55\times 10^{-1}.$ Imamo $x_0=1.00,$

$$x_1 = (1.00 + 0.555)' - 0.555 = 1.56 - 0.555 = 1.005 = 1.01,$$

$$x_2 = (1.01 + 0.555)' - 0.555 = 1.57 - 0.555 = 1.015 = 1.02,$$

$$x_3 = (1.02 + 0.555)' - 0.555 = 1.58 - 0.555 = 1.025 = 1.03,$$

$$\vdots$$

Dobivamo sve veće brojeve. Tako na primjer

$$x_{845} = 9.45\ .$$

Drugi način bi bio da se brojevi, kod kojih je broj $5$ prva znamenka koja se odbacuje, u pola slučajeva zaokružuju odbacivanjem, a u drugih pola uvećavanjem prethodne znamenke za jedan. Pravilo može biti na pr. sljedeće.

-

Ako je znamenka ispred broja $5$ parna, onda se $5$ odbacuje.

-

Ako je znamenka ispred broja $5$ neparna, onda se $5$ odbacuje, a prethodna znamenka se uvećava za jedan.

Lako se vidi da primjenjujući ovo pravilo u prethodnom primjeru dobivamo točan rezultat.