Realni brojevi

Za kompjuterski zapis realnog broja obično se koristi format $(2,32)$ ili $(2,64).$ Za prvi format se kaže da se radi o jednostrukoj, a za drugi o dvostrukoj preciznosti.

U formatu $(\beta,p)$ realni broj se zapisuje u obliku

$$\pm d_0.d_{-1}d_{-2}d_{-3}\cdots d_{p} \times \beta^e,$$

gdje su $d$ znamenke $0\leqslant d_i<\beta,$ a $e$ je eksponent. Tako je u formatu $(2,32)$ $\beta=2,$ $p=32,$ a znamenke $d_i$ su 0 ili $1.$ U tom formatu prvi bit određuje predznak, a zadnjih osam eksponent, od kojih prvi određuje predznak eksponenta.

$\vert$ $\ldots$ $\vert$ $\ldots$

Realan broj se uvijek zapisuje u normaliziranom obliku, tj. u obliku u kojem je $d_0\neq 0.$ To je zato da bi zapis broja bio jedinstven. Rang u ovom slučaju određuju minimalni i maksimalni eksponent. Maksimalni je

$$e_{max} = 2^0 + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^6 = 2^7-1 = 127,$$

dok je $e_{min}=-128.$ Rang određujemo tako da nađemo onaj $n$ za koji je

$$10^n = 2^{127}.$$

Ako logaritmiramo, imamo

$$n = 127\,\log 2 \approx 127\times 0.30103 \approx 38.$$

Dakle rang je

$$\left[10^{-38},10^{38}\right].$$

Ovakav zapis broja zovemo zapisom pomoću pomičnog zareza (floating-point).

Greške nastaju na dva načina. Jedan način da nastane greška je taj da se slijedom operacija dođe do broja koji nije u rangu. U tom slučaju kažemo da se dogodio overflow. O tome nećemo govoriti. Drugi način kako može doći do greške jeste kada želimo upisati ili kad operacijama dođemo do broja koji se ne može točno zapisati u formatu u kojem radi kompjuter. Na pr. dekadski broj $0.1$ se ne može točno zapisati u formatu s bazom $2$ bez obzira kolika bila preciznost.

Pretvorba dekadskog zapisa u binarni u slučaju realnog broja $0<z\leqslant 1$ dan je ovim algoritmom.

Algoritam 12   Neka je $z$ takav da je $0<z\leqslant{}1.$ Računamo nizove brojeva $(z_k)$ i $(a_{-k})$ iz formula

$$z_1 = z$$

$$% latex2html id marker 41897 a_{-k} = \left\{ \begin{array}{... ...\ 0, & \text{ ako je $2\,z_k\leqslant{}1,$} \end{array}\right.$$

$$z_{k+1} = 2\,z_k - a_{-k},\hspace{1cm}k=1,2,\ldots{}\ .$$

Tada je $z=0.a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots{}$ binarni zapis broja $z.$

Pomoću ovog algoritma možemo utvrditi da binarni zapis dekadskog broja $0.1$ glasi

$$0.0001100110011001100\ldots\ .$$