Lagrangeov interpolacijski polinom

Neka je dana funkcija $f:[a,b]\rightarrow{}\mathbb{R},$ i međusobno različite točke $x_0,$ $x_1,$ $x_2,\ldots,$ $x_n$ u $[a,b].$ Želimo aproksimirati funkciju $f$ polinomom koji u izabranim točkama ima iste vrijednosti kao funkcija $f.$ Ovako postavljen problem ima mnogo rješenja. Međutim, ako zahtijevamo da stupanj polinoma bude najviše $n,$ onda imamo samo jedno rješenje, što upravo tvrdi sljedeći teorem.

Teorem 27   Neka je dana $n+1$ vrijednost

$$f(x_k) = y_k,\hspace{1cm}k=0,1,2,3,\ldots,n$$

funkcije $f:[a,b]\rightarrow{}\mathbb{R}.$ Tada postoji jedan i samo jedan polinom $P$ stupnja najviše $n,$ takav da je

$$P(x_k) = y_k,\hspace{1cm}k=0,1,2,3,\ldots,n.$$

Dokaz. Neka su polinomi $L_k, k=0,1,2,\ldots,n$ stupnja najviše $n$ takvi da je

$$L_k(x_j) = \delta_{k\,j},\hspace{1cm}k,j=0,1,2,\ldots,n,$$

gdje je $\delta_{k\,j}$ Kroneckerov simbol 1.1. Tada je

$$P(x) = y_0\,L_0(x) + y_1\,L_1(x) + \cdots + y_n\,L_n(x) = \sum_{i=0}^n y_i\,L_i(x)$$

traženi polinom. Doista,

$$P(x_k) = \sum_{i=0}^n y_i\,L_i(x_k) = \sum_{i=0}^n y_i\,\delta_{i\,k} = y_k.$$

Konstruirajmo sada polinome $L_k.$ Polinom $L_k$ ima nultočke $x_0,x_1,\ldots,x_{k-1},x_{k+1},\ldots,x_n.$ Polinom minimalnog stupnja s tim svojstvom ima oblik

$$L_k(x) = a_k\,(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdots (x-x_n).$$

Broj $a_k$ je neodređen. Njega određujemo iz uvjeta $L_k(x_k)=1,$ tj.

$$a_k\,(x_k-x_0)(x_k-x_1)\cdots (x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\cdots (x_k-x_n) = 1.$$

Tako je

$$a_k = \frac{1}{(x_k-x_0)(x_k-x_1)\cdots (x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\cdots (x_k-x_n)},$$

pa je

$$L_k(x) = \frac{(x-x_0)(x-x_1)\cdots ... ...cdots (x_k-x_n)} = \prod^n_{\substack{i=0\\ i\neq k}} \frac{x-x_i}{x_k-x_i}.$$

Dakle

$$P(x) = \sum_{k=0}^n y_k\,\prod^n_{\substack{i=0\\ i\neq k}} \frac{x-x_i}{x_k-x_i}.$$

Jedinstvenost ovog polinoma slijedi ovako. Pretpostavimo da je $Q$ također polinom stupnja najviše $n$ takav da je $Q(x_k)=y_k,k=0,1,2,\ldots,n.$ Tada je $W = P-Q$ polinom stupnja najviše $n,$ i ima $n+1$ nultočku. Jedna od posljedica Osnovnog teorema algebre (v. [5, str. 77]) tvrdi da je tada $W=0,$ tj. $W(x)=0,$ za svaki $x \in \mathbb{R}.$ Dakle $Q(x)=P(x),$ za svaki $x \in \mathbb{R},$ tj. $P=Q.$ $\heartsuit$

Polinom

$$P(x) = \sum_{k=0}^n f(x_k)\,\prod^n_{\substack{i=0\\ i\neq k}} \frac{x-x_i}{x_k-x_i}$$ (3.14)

se zove Lagrangeov interpolacijski polinom funkcije $f$ za točke $x_0,x_1,x_2,$ $\ldots,x_n.$