Greške računanja.

Složeni problemi se rješavaju pomoću kompjutera. Kompjuter može samo konačno mnogo brojeva prikazati točno. Nazovimo te brojeve kompjuterski brojevi. Ako broj koji unosimo u kompjuter, ili s kojim on mora u nekom međukoraku baratati, nije kompjuterski, onda ga kompjuter zaokružuje, i time čini grešku. Jednostavniji proračun možemo izvršiti i bez kompjutera, no i tada, ako želimo dobiti ispis rezultata pomoću znamenki, moramo brojeve kao što su $\pi,e,\ldots$ zamijeniti približnim vrijednostima.

Da bismo se mogli pouzdati u rezultat nekog proračuna, moramo biti u stanju kontrolirati grešku. Recimo sada nešto o greškama i o tome kako se one ponašaju prilikom izvođenja operacija.

Neka je $a$ točna vrijednost nekog broja, i $a'$ njegova približna vrijednost. Kažemo da $a'$ aproksimira $a.$ Broj

$$\vert a' - a\vert$$

zovemo apsolutnom greškom, a broj

$$\frac{\vert a' - a\vert}{\vert a'\vert}$$

zovemo relativnom greškom aproksimacije.

Kažemo da je $a'\approx{}a$ s točnošću $\epsilon{}$, ako je

$$\vert a' - a\vert \leqslant{} \epsilon{}.$$

Teorem 22   Neka je $a'\approx{}a$ s točnošću $\epsilon{}_1,$ i $b'\approx{}b$ s točnošću $\epsilon{}_2.$ Tada je

1. $a'\pm b' \approx{} a\pm b$ s točnošću $\epsilon{}_1 + \epsilon{}_2,$
2. $a'\,b' \approx{} a\,b$ s točnošću $\epsilon{}_1\,\vert b'\vert + \epsilon{}_2\,\vert a'\vert + \epsilon{}_1\,\epsilon{}_2,$
3. $\frac{a'}{b'} \approx{} \frac{a}{b}$ s točnošću $\frac{\epsilon{}_1\,\vert b'\vert + \epsilon{}_2\,\vert a'\vert}{(\vert b'\vert - \epsilon{}_2)\,\vert b'\vert}.$

Dokaz. $\heartsuit{}$