Jedinstvenost rješenja rubnih problema

Laplaceova jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja. Dovoljno je vidjeti da je funkcije oblika $u(x,y,z) = a\,x\,y + b\,y\,z + c\,z\,x + \alpha\,x + \beta\,y + \gamma\,z + \delta$ zadovoljavaju, za bilo kakve vrijednosti parametara $a,b,c,d,\alpha,\beta,\gamma,\delta.$ Tako i Poissonova jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja. Realna fizikalna situacija je membrana određenog oblika, s određenim uvjetima na rubu. To drastično smanjuje broj rješenja. Razmotrimo sada problem jedinstvenosti rubnog problema

$$% latex2html id marker 36546 \begin{cases} -\Delta\,u = f,& ... ...tial\vec{n}}\right\vert _{\partial\Omega} = \beta.& \end{cases}$$

Taj problem ćemo rješavati pomoću energetske jednadžbe. Pomnožimo Poissonovu jednadžbu s $u$ i zatim integrirajmo po cijelom području

$$-\iiint_{\Omega}\,u\,\Delta\,u\,dV = \iiint_{\Omega}\,f\,u\,dV.$$

Za skalarna polja $u$ i $v$ imamo

$${\rm div\,}(u\,{\rm grad\,}v) = {\rm grad\,}u\cdot{\rm grad\,}v + u\,\Delta v.$$

Stavimo $v=u,$ pa imamo

$$u\,\Delta u = {\rm div\,}(u\,{\rm grad\,}u) - {\rm grad\,}u\cdot{\rm grad\,}u,$$

$$\iiint_{\Omega} u\,\Delta u\,dV = \i... ...}(u\,{\rm grad\,}u)\,dV - \iiint_{\Omega} {\rm grad\,} u\cdot{\rm grad\,}u\,dV.$$ (2.51)

Po teoremu o divergenciji

$$\iiint_{\Omega} {\rm div\,}(u\,{\rm ... ...vec{n}\,dS = \iint_{\partial\Omega} u\,\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}\,dS,$$

pa nakon uvrštavanja dobivamo energetsku jednadžbu

$$\iiint_{\Omega}\,({\rm grad\,}u)^2\,... ...f\,u\,dV + \iint_{\partial\Omega}\, u\,\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}\,dS.$$

Teorem 19   Neka je $\Omega$ ograničeno područje u $\mathbb{R}^3.$ Dirichletov rubni problem

$$\begin{cases} -\Delta\,u = f,& \\ u\vert _{\partial\Omega} = \alpha & \end{cases}$$

ima najviše jedno rješenje.

Dokaz. Zaista, pretpostavimo da su $u_1$ i $u_2$ dva rješenja. Tada funkcija $w = u_1 - u_2$ rješava rubni problem

$$-\Delta\,w = 0,$$

$$w\vert _{\partial\Omega} = 0.$$

Uvrstimo $w$ u energetsku jednadžbu umjesto $u.$ Imamo

$$\iiint_{\Omega}\,({\rm grad\,}w)^2\,dV = 0.$$

Slijedi

$${\rm grad\,}w = \vec{0},$$

odakle

$$\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial w}{\partial y} = \frac{\partial w}{\partial z} = 0,$$

pa je $w$ konstanta. No, $w\vert _{\partial\Omega} = 0$ povlači $w = 0,$ tj.

$$u_1 = u_2.$$

$\heartsuit$

Teorem 20   Neka je $\Omega$ ograničeno područje u $\mathbb{R}^3,$ i neka je zadan Neumannov rubni problem

$$% latex2html id marker 36610\begin{cases} -\Delta\,u = f,&... ...tial\vec{n}}\right\vert _{\partial\Omega} = \beta.& \end{cases}$$

1. Nužan uvjet za postojanje rješenja je
   $$\iiint_{\Omega}\,f\,dV + \iint_{\partial\Omega}\,\beta\,dS = 0.$$

2. Bilo koja dva rješenja se razlikuju za konstantu.

Dokaz. 1. Ako je $u$ rješenje, onda iz jednadžbe slijedi

$$-\iiint_{\Omega}\,\Delta\,u\,dV = \iiint_{\Omega}\,f\,dV,$$

$$-\iiint_{\Omega}\,{\rm div\,}({\rm grad\,}u)\,dV = \iiint_{\Omega}\,f\,dV.$$

Po teoremu o divergenciji slijedi

$$-\iint_{\partial\Omega}\,\ {\rm grad\,}u\cdot \vec{n}\,dS = \iiint_{\Omega}\,f\,dV,$$

$$\iint_{\partial\Omega}\,\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}\,dS + \iiint_{\Omega}\,f\,dV = 0,$$

dakle

$$\iiint_{\Omega}\,f\,dV + \iint_{\partial\Omega}\,\beta\,dS = 0.$$

Ovaj uvjet izražava činjenicu da vanjska sila i Neumannov rubni uvjet moraju biti pažljivo izabrani, tako da membrana bude u ravnoteži. Kod Dirichletovog uvjeta nije bio potreban toliki oprez, jer je u tom slučaju membrana na rubu učvršćena.
2. Neka su $u_1$ i $u_2$ dva rješenja. Tada funkcija $w = u_1 - u_2$ rješava rubni problem

$$-\Delta\,w = 0,$$

$$\left.\frac{\partial w}{\partial\vec{n}}\right\vert _{\partial\Omega} = 0.$$

Uvrstimo $w$ u energetsku jednadžbu umjesto $u.$ Imamo

$$\iiint_{\Omega}\,({\rm grad\,}w)^2\,dV = 0.$$

Slijedi

$${\rm grad\,}w = \vec{0},$$

odakle

$$\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial w}{\partial y} = \frac{\partial w}{\partial z} = 0,$$

pa je $w$ konstanta. Tako se $u_1$ i $u_2$ razlikuju za konstantu. $\heartsuit$