Supremum i infimum

Definicija 52   Neka je $S$ neprazan skup u $R.$ Za realan broj $m$ kažemo da je infimum skupa $S,$ ako vrijedi

1.

$m$ je minoranta, tj. $m\leqslant x,\;\forall x\in S,$

2.

za svaki $\varepsilon >0$ postoji $x\in S$ takav, da je $x<m+\varepsilon.$

U tom slučaju pišemo

$$m=\inf S.$$

Za realan broj $M$ kažemo da je supremum skupa $S,$ ako vrijedi

1.

$M$ je majoranta, tj. $M\geqslant x,\;\forall x\in S,$

2.

za svaki $\varepsilon >0$ postoji $x\in S$ takav, da je $x>M-\varepsilon.$

U tom slučaju pišemo

$$M=\sup S.$$

Slobodnije govoreći možemo reći da je supremum najmanja majoranta, a infimum najveća minoranta nepraznog skupa.

Osnovno svojstvo skupa realnih brojeva predstavlja sljedeća tvrdnja.

Teorem 41   Svaki neprazan, odozgo ograničen skup u $R$ ima supremum. Svaki neprazan, odozdo ograničen skup u $R$ ima infimum.

Primjer 8.4   Interval $\langle a,b\rangle$ ima infimum $a$ i supremum $b.$

Rješenje. Doista, $\langle a,b\rangle=\{x\in R;\;a<x<b\}.$ Odatle slijedi da je $b$ majoranta. Za proizvoljan $\varepsilon >0$ vrijedi

$$b-\varepsilon<b-\frac{\varepsilon}{2}<b,$$

osim toga $b-\frac{\varepsilon}{2}\in\langle a,b\rangle,$ dakle $b$ je supremum.

Primjer 8.5   Skup $S=\{\frac{1}{1+x^2};\;x\in R\}$ ima infimum 0 i supremum $1.$

Rješenje. Za svaki $x\in R$ očito vrijedi

$$0\leqslant \frac{1}{1+x^2}\leqslant 1,$$

tj. 0 je minoranta, a $1$ je majoranta skupa $S.$ Dokažimo najprije da je $\inf S=0.$ Uzmimo $\varepsilon >0$ proizvoljan. Nejednadžba

$$0+\varepsilon=\varepsilon\geqslant \frac{1}{1+x^2}$$

ima, za $0<\varepsilon\leqslant 1,$ rješenja u skupu

$$\left\langle -\infty,-\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon}}\ri... ... \cup\left\langle \sqrt{\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon}},\infty\right\rangle,$$

a za $\varepsilon>1$ rješenje je bilo koji realan broj. Prema tome niti jedan $\varepsilon >0$ nije minoranta. Slijedi da je 0 najveća minoranta, tj. infimum.

Dokažimo sada da je $\sup S=1.$ Uzmimo $\varepsilon >0$ proizvoljan. Nejednadžba

$$1-\varepsilon\leqslant \frac{1}{1+x^2}$$

ima, za $0<\varepsilon< 1,$ rješenja u skupu

$$\left\langle -\sqrt{\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}}, \sqrt{\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}}\right\rangle,$$

a za $\varepsilon\geqslant 1$ rješenje je bilo koji realan broj. Prema tome niti jedan broj manji od $1$ nije majoranta. Slijedi da je $1$ najveća majoranta, tj. supremum.

Ako skup $S$ ima supremum $M$ i on pripada skupu $S,$ onda se broj $M$ zove maksimum skupa $S.$ Ako skup $S$ ima infimum $m$ i on pripada skupu $S,$ onda se broj $m$ zove minimum skupa $S.$

Primjer 8.6   Skup $S=[a,b\rangle$ ima minimum $a,$ ali nema maksimum.

Rješenje. Doista, $a=\inf S,b=\sup S.$ Pri tom $a\in S,b\notin S.$

Ako je skup $S$ neograničen odozgo, onda nema supremum i to se kraće zapisuje na sljedeći način

$$\sup S=\infty.$$

Ako je skup $S$ neograničen odozdo, onda nema infimum i to se kraće zapisuje na sljedeći način

$$\inf S=-\infty.$$