GAUSSOVA I SREDNJA ZAKRIVLJENOST U REGULARNOJ TOČKI PLOHE

Gaussova i srednja zakrivljenost u regularnoj točki plohe važni su pojmovi diferencijalne geometrije.


1. Regularne i singularne točke plohe


Točku T na plohi F nazivamo regularnom točkom plohe ako u njoj postoji jednistvena dirna (tangencijalna) ravnina plohe.

Podsjetimo se!
Za regularnu točku T tangencijalna ravnina t sadrži tangente s diralištem u T svih onih krivulja koje leže na plohi i prolaze točkom T.















Točke u kojima takve tangente ne formiraju ravninu (formiraju više ravnina od kojih neke mogu biti i dvostruko brojene, ili algebarske stošce bilo kojeg reda n) nazivamo singularnim točkama plohe.

U takvim točkama funkcije Gaussove i srednje zakrivljenosti nisu definirane.













2. Normalna zakrivljenost, glavni i asimptotski smjerovi


Podsjetimo se!
U regularnoj točki krivulje apsolutna vrijednost zakrivljenosti k recipročna je polumjeru oskulacijske kružnice, dok joj predznak ovisi o orijentaciji normale.














Ravnine koje sadrže normalu n plohe F u točki T nazivamo ravninama normalnih presjeka kroz T.

Svaka je takva ravnina određena normalom n i nekom od tangenata t plohe F u tangencijalnoj ravnini t .

U točki T zakrivljenost krivulje normalnog presjeka određenog tangentom t nazivamo normalnom zakrivljenošću plohe F u smjeru t u točki T i označavamo ju Kt.

Ta zakrivljenost može poslužiti za mjerenje zakrivljenosti kt bilo koje druge krivulje na plohi F koja u T ima istu tangentu t.
Tu vrijede relacije:

Kt=kt cosa, odnosno r = R cosa.





Promatramo sada normalne zakrivljenosti Kt u točki T. Funkcija K, koja svakom smjeru tangente pridružuje zakrivljenost odgovarajućeg normalnog presjeka, je takva da ima maksimum i minimum na intervalu [0,p ].


Te ekstremne zakrivljenosti K1 i K2 nazivamo glavnim zakrivljenostima plohe F u točki T.

Tangente pridruženih krivulja nazivamo glavnim smjerovima u T (označavat ćemo ih p1 i p2), a ravnine tih krivulja glavnim ravninama.
Glavni su smjerovi uvijek ortogonalni!

Zakrivljenost Kt bilo kojeg normalnog presjeka može se izraziti pomoću glavnih zakrivljenosti K1 i K2.
Tu vrijedi relacija:

Kt=K1 cos2f+K2 sin2f,

gdje je f kut između tangente t i glavnog smjera p1.






U ravninama normalnih presjeka kroz točku T mogu (ali ne moraju) postojati i krivulje kojima je zakrivljenost u točki T jednaka 0.

Tangente takvih krivulja nazivamo asimptotskim smjerovima plohe F u točki T i označavamo ih a1 i a2.
Oni odgovarju rješenjima kvadratne jednadžbe

K1 cos2f +K2 sin2f=0.














3. Gaussova i srednja zakrivljenost


Gaussova (potpuna ili totalna) zakrivljenost plohe F u točki T jednaka je produktu odgovarajućih glavnih zakrivljenosti, tj.

G(T) = K1(T) K2(T).



Srednja zakrivljenost plohe F u točki T jednaka je polovini zbroja odgovarajućih glavnih zakrivljenosti, tj.

H(T) = 0.5 (K1(T) + K2(T)).




4. Eliptičke, hiperboličke, paraboličke i ravninske točke plohe


Ako za točku T na plohi F vrijedi G(T) > 0, tj. ako su glavne zakrivljenosti u točki T istoga predznaka, kažemo da je T eliptička točka plohe F .


















Ako za točku T na plohi F vrijedi G(T) < 0, tj. ako su glavne zakrivljenosti u točki T suprotnog predznaka, kažemo da je T hiperbolička točka plohe F .


















Ako za točku T na plohi F vrijedi G(T) = 0, a pri tome samo jedna od glavnih zakrivljenosti iščezava (ili K1=0 ili K2= 0), kažemo da je T parabolička točka plohe F .
















Ako za točku T na plohi F vrijedi G(T) = 0, a pri tome iščezavaju obe glavne zakrivljenosti, te stoga i sve ostale normalne zakrivljenosti, tj. vrijedi K1=K2=Kt=0, kažemo da je T planarna (ravninska, plosnata) točka plohe F .


















Torus je primjer plohe na kojoj postoje eliptičke, paraboličke i hiperboličke točke.




- eliptičke točke


- paraboličke točke


- hiperboličke točke







5. Gaussova i srednja zakrivljenost u regularnoj točki pravčaste plohe


Regularne točke razmotljivih pravčastih ploha (npr. stošci i valjci) uvijek su paraboličke, dok su regularne točke vitoperih pravčastih ploha uvijek hiperboličke.

vizualizacije za hipar


vizualizacije za konoid 4. reda