•4. LOKALNI EKSTREMI

Definicija 4.  EKSTREMI FUNKCIJE

Neka je I otvoreni interval u R.
Za funkciju f : I-> R kazemo da u točki c iz I ima :

        (a)  lokalni maksimum f(c) ako postoji δ>0 takvo da
        ( |x-c| < δ ) ==> ( f(x) <= f(c) );
        
        (a')  strogi lokalni maksimum f(c) ako postoji δ>0 takvo da
        ( 0 < |x-c| < δ ) ==> ( f(x) <  f(c));
        
        (b)   lokalni minimum f(c) ako postoji δ>0 takvo da
        ( |x-c| < δ ) ==> ( f(x) >=  f(c) );
        
        (b')  strogi lokalni minimum f(c) ako postoji δ>0 takvo da
        ( 0 < |x-c| < δ ) ==> ( f(x) >  f(c));
        
        (c)   lokalni ekstrem f(c) ako f u c ima
         lokalni maksimum  ili lokalni minimum;
         
        (c') strogi lokalni ekstrem f(c) ako f u c ima
         stogi lokalni maksimum ili strogi lokalni minimum.  

[Graphics:../HTMLFiles/max.gif]

Definicija 5.   STACIONARNA TOCKA

To ka c je stacionarna tocka funkcije fako je f diferencijabilna u tocki c i ako je f'(c)=0.

ZAPAMTIMO
STACIONARNE TOCKE su MOGUCE tocke  lokalnog EKSTREMA derivabilne  funkcije.

Taylorova formula  funkcije f za n=1:

f(x) = f(a)+f^'(a)/1 ! (x - a) + f^''(c)/2 ! (x - a)^2,   c iz (a,x)

ili

f(x) = f(a)+f^'(a)/1 ! (x - a) + f^''(a + θ (x - a))/2 ! (x - a)^2,  θ iz (0,1).

Taylorova formula funkcije f  za n=1, a stacionarna tocka:  

f(x) = f(a)+f^''(c)/2 ! (x - a)^2,   c iz (a,x)

LOKALNI EKSTREMI:

f'(a)=0, a-stacionarna tocka;
postoji f''(x),  neprekinuta u okolini tocke a;

Tada
f''(a)>0 -> f ima minimum u tocki a;
f''(a)<0 -> f ima maksimum u tocki a;
f''(a)=0 -> ne znamo

Taylorova formula funkcije f  za n=2k-1, a stacionarna tocka:  

f(x) = f(a)+f^(2 k)(c)/2 ! (x - a)^(2 k),   c iz (a,x)

LOKALNI EKSTREMI:

f'(a)=0, a-stacionarna tocka;
postoji f^(2 k)(x) , k>1, neprekinuta u okolini tocke a;

Ako
f''(a)=0 , ..., f^(2 k - 1)(a) = 0,

onda
f^(2 k) (a) > 0    ->   f ima lokalni minimum u tocki a
f^(2 k) (a) <0     ->   f ima lokalni maksimum u tocki a.

Taylorova formula funkcije f  za n=2k, a stacionarna tocka:  

f(x) = f(a)+f^(2 k + 1)(c)/2 ! (x - a)^(2 k + 1),   c iz (a,x)

LOKALNI EKSTREMI:

f'(a)=0, a-stacionarna tocka;
postoji f^(2 k + 1)(x) , k>1 i neprekinuta u okolini tocke a;

Ako
f''(a)=0 , ..., f^(2 k)(a) = 0,

onda
f^(2 k + 1) (a) != 0    ->   f nema ekstrem u tocki a.

Converted by Mathematica  (September 20, 2003)