•2. TAYLOROV TEOREM SREDNJE VRIJEDNOSTI

TEOREM 2.       (TAYLOROV TEOREM SREDNJE VRIJEDNOSTI) pretpostavke : Neka je f : I -> ÷µ neprekidna na otvorenom intervalu     I ⊆ ÷µ . Neka su sve f^(n + 1) ( x ) derivacije neprekinute funkcije na    I . Neka je a ∈ I . zaklju ak : Tada postoji bar jedan c ∈ ( a , x ) takav da vrijedi TAYLOROVA FORMULA <br /> f ( x ) = f ( a ) + f^'(a)/1 ! (x - a) + f^''(a)/2 ! (x - a)^2 + ... + f^(n)(a)/n ! (x - a)^n + f^(n + 1)(c)/(n + 1) ! (x - a)^(n + 1) , c ∈ ( a , x ) . f ( x ) = T _ n (x) + R _ n (x)

Definicija 2.    TAYLOROV POLINOM Neka funkcije f ima sve derivacije do (n) - tog reda u tocki a ∈ I . Taylorov polinom funkcije f u tocki a je polinom n - tog stupnja zadan formulom T _ n (x) = f (a) + f^'(a)/1 ! (x - a) + f^''(a)/2 ! (x - a)^2 + ... + f^(n)(a)/n ! (x - a)^n .

Definicija 3. Lagrangeov oblik n - tog ostatka Neka funkcije f ima derivaciju (n + 1) - vog reda u tocki c ∈ I . Lagrangeov oblik    n - tog ostatka je polinom    n + 1 - stupnja zadan formulom R _ n (x) = f^(n + 1)(c)/(n + 1) ! (x - a)^(n + 1) .

TAYLOROVA FORMULA f ( x ) = f ( a ) + f^'(a)/1 ! (x - a) + f^''(a)/2 ! (x - a)^2 + ... + f^(n)(a)/n ! (x - a)^n + f^(n + 1)(c)/(n + 1) ! (x - a)^(n + 1) , c ∈ ( a , x ) . f ( x ) = T _ n (x) + R _ n (x) Za a = 0, McLaurinova formula .

Ako funkcija ima derivacije svakog reda i ako     Underscript[ lim, x -> ∞] R _ n (x) = 0    funkciju f mo~emo razviti u Taylorov red f ( a ) + f^'(a)/1 ! (x - a) + f^''(a)/2 ! (x - a)^2 + ... + f^(n)(a)/n ! (x - a)^n + ... ili (za a = 0)      funkciju f mo~emo razviti u McLaurinov red f ( 0 ) + f^'(0)/1 ! x + f^''(0)/2 ! x^2 + ... + f^(n)(0)/n ! x^n + ... Null

PRIMJERI
e^x =1+1/1 ! x + 1/2 ! x^2 + ... + 1/n !x^n+...
sin x= 1/1 ! x - 1/3 ! x^3 + 1/5 ! x^5 ... + (-1)^n 1/(2 n - 1) !x^(2 n - 1)+...

Pogledajte Taylorov polinom

Converted by Mathematica  (September 20, 2003)