Konike kao presjeci stožaca i valjaka 2. stupnja

Stožac 2. stupnja možemo promatrati kao skup pravaca koji spajaju točke neke neraspadnute konike s jednom točkom u konačnosti koja ne leži u ravnini te konike.

Istaknutu točku nazivamo vrhom stošca, a spojnice tog vrha s točkama konike izvodnicama stošca.

Valjak 2. stupnja možemo promatrati kao skup pravaca koji spajaju točke neke neraspadnute konike s jednom beskonačno dalekom točkom koja ne leži u ravnini te konike.

Te paralelne pravce nazivamo izvodnicama valjka, a njihovo beskonačno daleko sjecište vrhom valjka.

[Graphics:Images/STnastajanjeANIM.gif] [Graphics:Images/VAnastajanjeANIM.gif]

Raspadnute konike

Za lakše razumijevanje može biti korisno ponoviti: raspadnute konike

Ako ravnina prolazi vrhom stošca ili valjka 2. stupnja presječna je krivulja raspadnuta konika.
(Ravnina paralelna s izvodnicama valjka prolazi njegovim beskonačno dalekim vrhom).

Raspadnute konike koje mogu biti rezultat takvog sječenja su sljedeće:

- par realnih ukrštenih pravaca (presjek može biti samo na stošcu),
- par realnih paralelnih pravaca (presjek može biti samo na valjku),
- jedan dvostruki pravac (ravnina je tangencijalna ravnina stošca ili valjka),
- par konjugirano imaginarnih pravaca sa sjecištem u konačnosti (presjek može biti samo na stošcu), te
- par konjugirano imaginarnih paralelnih pravaca (presjek može biti samo na valjku).

[Graphics:Images/SVzajedno.gif]

[Graphics:Images/STraspadANIM1.gif] [Graphics:Images/VAraspadANIM1.gif]

Neraspadnute konike

Za lakše razumijevanje može biti korisno ponoviti: klasifikacija neraspadnutih konika

Svaka ravnina koja ne prolazi vrhom stošca 2. stupnja sijece taj stožac po neraspadnutoj konici.

Ta je konika:

- hiperbola, ako je presječna ravnina paralelna s 2 izvodnice stošca,
- parabola, ako je presječna ravnina paralelna s 1 izvodnicom stošca, te
- elipsa, ako presječna ravnina nije paralelna niti s jednom izvodnicom stošca.

[Graphics:Images/STneraspadi.gif]

[Graphics:Images/neraspadiANIM.gif]

Za razliku od stošca, na kojem uvijek postoje sva tri tipa neraspadnutih konika, na valjku 2. stupnja uvijek postoji samo jedan tip neraspadnute konike.
Naime, beskonačno daleka ravnina prolazi beskonačno dalekim vrhom valjka i siječe ga u dvije izvodnice. Te izvodnice mogu biti:
- realne i različite,
- realne i podudarne (beskonačno daleka ravnina tangencijalna je ravnina valjka) ili
- par konjugirano imaginarnih pravaca.

Ovisno o tome kakav je njegov presjek s beskonačno dalekom ravninom valjak 2. stupnja je:
- hiperbolički,
- parabolički ili
- eliptički.

[Graphics:Images/valjci.gif]

Ravnina koja nije paralelna s izvodnicama valjka 2. stupnja siječe:
- hiperbolički valjak uvijek po hiperboli,
- parabolički uvijek po paraboli, a
- eliptički uvijek po elipsi.

[Graphics:Images/VApresjekANIM.gif]

natrag (konike)

natrag (IT projekt)

Converted by Mathematica      November 19, 2002