2.1.2. Osnovni stereometrijski odnosi

Međusobni položaj točaka, pravaca i ravnina

Dvije točke mogu se ili podudarati ili biti različite.

Točka i pravac mogu biti u sljedećim položajima:
  • \({\small T}\) leži na pravcu \({\small p}\) (\({\small T\in p}\))
  • \({\small T}\) ne leži na pravcu \({\small p}\) (\({\small T\notin p}\)).

    Točka i ravnina mogu biti u sljedećim položajima:
  • \({\small T}\) leži u ravnini \({\small\Sigma}\) (\({\small T\in \Sigma}\))
  • \({\small T}\) ne leži u ravnini \({\small\Sigma}\) (\({\small T\notin \Sigma}\)).

    Dva pravca mogu se ili podudarati ili biti različiti. Ako su različiti, mogu biti u sljedećim položajima:
  • pravci \({\small p_1}\)i \({\small p_2}\) se sijeku te tada imaju jednu zajedničku točku u konačnosti koju nazivamo njihovim sjecištem,
    a za pravce kažemo da su ukršteni ( \({\small p_1\cap _2 = P}\))
  • pravci \({\small p_1}\)i \({\small p_2}\) su paralelni, odnosno njihovo je sjecište neka beskonačno daleka točka ( \({\small p_1 || p_2}\), tj. \({\small p_1\cap p_2 = P^\infty}\) )
  • pravci \({\small p_1}\)i \({\small p_2}\) su mimosmjerni ili mimoilazni te tada nemaju ni jednu jednu zajedničku točku (\({\small p_1\cap _2 = \phi}\)).

    Slika 2.5a: Pravci se sijeku (ukršteni)
    Slika 2.5b: Paralelni pravci
    Slika 2.5c: Mimosmjerni pravci


    Dvije ravnine mogu se ili podudarati ili biti različite. Ako su različite, mogu biti u sljedećim položajima:
  • ravnine \({\small \Sigma_1}\) i \({\small \Sigma_2}\) se sijeku te tada imaju jedan zajednički pravac kojeg nazivamo njihovom presječnicom (\({\small \Sigma_1\cap \Sigma_2 =p}\))
  • ravnine \({\small \Sigma_1}\) i \({\small \Sigma_2}\) su paralelne, odnosno njihova je presječnica neki beskonačno daleki pravac prostora (\({\small \Sigma_1\parallel \Sigma_2}\), tj. \({\small \Sigma_1\cap \Sigma_2 = p^\infty}\)).


    Slika 2.6a: Ravnine se sijeku duž presječnice Slika 2.6b: Paralelne ravnine


    Pravac i ravnina u prostoru mogu biti u sljedećim položajima:
  • pravac \({\small p}\) leži u ravnini \({\small \Sigma}\), odnosno ako dvije različite točke pravca p leže u ravnini \({\small \Sigma}\), onda i pravac p leži u ravnini \({\small \Sigma}\), (\({\small p\subset\Sigma}\))
  • pravac \({\small p}\) i ravnina \({\small \Sigma}\) se sijeku - tada pravac i ravnina imaju jednu zajedničku točku u konačnosti koju nazivamo njihovim probodištem  (\({\small p\cap\Sigma =P}\))
  • pravac \({\small p}\) i ravnina \({\small \Sigma}\) su paralelni, odnosno njihovo je probodište beskonačno daleka točka ( \({\small p\parallel\Sigma}\), tj. \({\small p\cap\Sigma =P^\infty}\)).
    Pravac \({\small p}\) paralelan je s ravninom \({\small \Sigma}\) ako u \({\small \Sigma}\) postoji barem jedan pravac koji je paralelan s pravcem \({\small p}\). Tada vrijedi da u ravnini \({\small \Sigma}\) postoji beskonačno mnogo pravaca koji su paralelni s pravcem \({\small p}\). Oni čine pramen paralelnih pravaca u toj ravnini.





    Slika 2.7a: Pravac leži u ravnini Slika 2.7b: Pravac probada ravninu u probodištu Slika 2.7c: Pravac je paralelan s ravninom

    Određenost ravnine

    Ravnina je jednoznačno određena s:
  • tri nekolinearne točke
  • jednim pravcem i jednom točkom koja ne leži na tom pravcu
  • dva pravca koji se sijeku
  • dva paralelna pravca.
    Slika 2.8a Slika 2.8b Slika 2.8c Slika 2.8d

    Za točke i pravce koji leže u istoj ravnini kažemo da su komplanarni.
    Dva mimosmjerna pravca ne mogu ležati u istoj ravnini pa stoga mimosmjerni pravci nikada nisu komplanarni.

    Mjerenje kuta i okomitost

    Kut između pravaca i okomiti (ortogonalni) pravci

    Kut između dva pravca koji leže u istoj ravnini učili ste mjeriti još u osnovnoj školi. Znate da je kut između dva okomita pravca \({\small 90^\circ}\) (pravi), a onaj između paralelnih pravaca \({\small 0^\circ}\). U svim ostalim slučajevima veličina kuta je između te dvije vrijednosti. Ovdje ćemo mjerenje kuta proširiti i na pravce koji ne leže u istoj ravnini, dakle na mimosmjerne pravce. To činimo na sljedeći način:

  • Neka su \({\small p}\) i \({\small q}\) dva mimosmjerna pravca. Na bilo kojem od tih pravaca odaberemo jednu točku i kroz nju položimo pravac \({\small r}\) koji je paralelan s drugim. Kut između tako dobivenih ukrštenih pravaca jednak je kutu između mimosmjernih pravaca \({\small p}\) i \({\small q}\).

  • Mimosmjerni pravci su okomiti (ortogonalni) ako je kut između njih (prema navedenoj definiciji) pravi.


    Slika 2.9a: \({\small q\parallel r,\,\,\angle (p,q)=\angle (p,r)}\) Slika 2.9b: \({\small q\parallel r,\,\,p\perp r \Rightarrow p\perp q}\)


    Okomitost pravca i ravnine

  • Pravac \({\small p}\) okomit je na ravninu \({\small\Sigma}\) ako je okomit na svaki pravac u toj ravnini.
    Pravac \({\small p}\) nazivamo okomicom ili normalom ravnine \({\small\Sigma}\), a probodište pravca \({\small p}\) i ravnine \({\small\Sigma}\) nožištem pravca \({\small p}\).

    Međutim, jasno je da nije potrebno (a ni moguće) provjeravati ortogonalnost za sve pravce ravnine, pa se postavlja pitanje koji su dovoljni uvjeti da pravac i ravnina budu okomiti? Odgovor je dan u sljedećem teoremu kojeg ovdje nećemo dokazivati:

  • Pravac \({\small p}\) okomit je na ravninu \({\small\Sigma}\) ako je okomit na bilo koja dva ukrštena pravca te ravnine.

    Usto ističemo još dva važna teorema (intuitivno vrlo jasna), koji su vezani za okomitost pravca i ravnine:
  • Svakom točkom prostora prolazi jedinstvena ravnina koja je okomita na dani pravac.
  • Svakom točkom prostora prolazi jedinstvena okomica dane ravnine.

    Na slici 2.10 dane su ilustracije tih teorema.
    Slika 2.10


    Okomitost dviju ravnina

  • Dvije su ravnine okomite ako jedna od tih ravnina sadrži barem jedan pravac koji je okomit na drugu ravninu.

    Tu činjenicu možemo i ovako zapisati: \({\small \Sigma_1\perp\Sigma_2\Longleftrightarrow \exists p\subset \Sigma_1,\,\, p\perp\Sigma_2}\)

    Relacija okomitosti je simetrična, odnosno ako je \({\small \Sigma_1\perp\Sigma_2}\), onda je i \({\small \Sigma_2\perp\Sigma_1}\). Stoga i u ravnini \({\small \Sigma_2}\) postoji pravac koji je okomit na ravninu \({\small \Sigma_1}\). Štoviše, ako su dvije ravnine okomite, tada svaka od njih sadrži beskonačno mnogo pravaca (pramen paralelnih pravaca) koji su okomiti na drugu ravninu.

    Slika 2.11a: \({\small \Sigma_1\perp\Sigma_2}\) Slika 2.11b: \({\small \Sigma_2\perp\Sigma_1}\)


    Ortogonalna projekcija

  • Ortogonalna projekcija \({\small T_p}\), točke \({\small T}\) na pravac \({\small p}\), sjecište je pravca \({\small p}\) i okomice iz \({\small T}\) na \({\small p}\) koja leži u ravnini određenoj s \({\small T}\) i \({\small p}\).
    Ako \({\small T}\) leži na pravcu \({\small p}\), onda je \({\small T_p=T}\).

  • Ortogonalna projekcija \({\small T_\Sigma}\), točke \({\small T}\) na ravninu \({\small \Sigma}\), probodište je ravnine \({\small \Sigma}\) i pravca koji prolazi točkom \({\small T}\), a okomit je na \({\small \Sigma}\).
    Ako \({\small T}\) leži u ravnini \({\small \Sigma}\), onda je \({\small T_\Sigma=T}\).

  • Ortogonalna projekcija \({\small p_\Sigma}\), pravca \({\small p}\) na ravninu \({\small \Sigma}\), skup je ortogonalnih projekcija svih točaka pravca \({\small p}\) na ravninu \({\small \Sigma}\).
    Ako je pravac \({\small p}\) okomit na ravninu \({\small \Sigma}\), onda je njegova ortogonalna projekcija točka (\({\small T_\Sigma = p\cap \Sigma}\)).
    U svim ostalim slučajevima \({\small p_\Sigma}\) je pravac.
    Ako pravac \({\small p}\) leži u ravnini \({\small \Sigma}\), onda je \({\small p_\Sigma=p}\).
    Slika 2.12a: Ortogonalna projekcija točke na pravac Slika 2.12b: Ortogonalna projekcija točke na ravninu Slika 2.12c: Ortogonalna projekcija pravca na ravninu


    Kut između pravca i ravnine

    Za pravac koji nije okomit na ravninu vrijedi:

  • Kut između pravca i ravnine jednak je kutu između pravca i njegove ortogonalne projekcije na tu ravninu - \({\small \angle (p,\Sigma)=\angle (p,p_\Sigma)}\).

    Sasvim je razumljivo da ako pravac leži u ravnini ili je s njom paralelan, kut između pravca i ravnine je \({\small 0^\circ}\).
    Ako je pravac okomit na ravninu, kut između njih je \({\small 90^\circ}\).

    Slika 2.13: Kut između pravca i ravnine


    Kut između dvije ravnine

  • Kut između paralelnih ravnina je \({\small 0^\circ}\).

    Kao definiciju kuta između dvije ravnine koje se sijeku možemo odabrati jednu od sljedeće dvije definicije:

  • Kut između dviju ravnina koje se sijeku jednak je kutu između bilo koja dva pravca koji leže u tim ravninama (po jedan u svakoj od njih), a okomiti su na njihovu presječnicu.

  • Kut između dviju ravnina koje se sijeku, jednak je kutu između njihovih normala.
    Slika 2.14a: Kut između dvije ravnine

    		Slika 2.14b: Ukršteni pravci (s pomoću kojih mjerimo kut) leže u bilo kojoj ravnini okomitoj na njihovu presječnicu

    Udaljenost

    Udaljenost između dviju točaka
    Mjerenje udaljenosti između dviju točaka \({\small T_1}\) i \({\small T_2}\) vjerojatno je prvo mjerenje s kojim ste se u životu susreli.
    Ta je udaljenost jednaka duljini dužine kojoj su krajevi točke \({\small T_1}\) i \({\small T_2}\).
    Broj koji izražava tu udaljenost označavamo \({\small d(T_1,T_2)}\).
    Ako je \({\small T_1=T_2}\), onda je \({\small d(T_1,T_2)=0}\).

    Udaljenost između dva skupa točaka
    Udaljenost dva skupa točaka \(\mathrm A\) i \(\mathrm B\) je najkraća udaljenost među točkama tih skupova.
    \({\small d(}\)\(\mathrm{A, B}\)\({\small) = \mathrm{min} \{d(A,B) | A\in}\)\( \mathrm A\), \({\small B\in}\)\(\mathrm B\)\({\small \}}\).

    Udaljenost između točke i pravca
    Udaljenost između točke \({\small T}\) i pravca \({\small p}\) je udaljenost točke \({\small T}\) od njezine ortogonalne projekcije na taj pravac, dakle \({\small d(T,p) = d(T,T_p)}\).

    Udaljenost između točke i ravnine
    Udaljenost između točke \({\small T}\) i ravnine \({\small \Sigma}\) je udaljenost točke \({\small T}\) od njezine ortogonalne projekcije na tu ravninu, odnosno \({\small d(T,\Sigma) = d(T,T_\Sigma)}\).

    Udaljenost između dva pravca
  • Ako se pravci sijeku, njihova je udaljenost \({\small 0}\).
  • Ako su pravci paralelni, njihova je udaljenost jednaka udaljenosti bilo koje točke prvog pravca od njezine ortogonalne projekcije na drugi pravac.
  • Udaljenost mimosmjernih pravaca jednaka je udaljenosti njihovih sjecišta sa zajedničkom normalom.
    Naime, za svaka dva mimosmjerna pravca postoji jedinstveni pravac koji ih siječe i na svakog je okomit. Takav pravac nazivamo zajedničkom normalom mimosmjernih pravaca.

    Slika 2.15: Udaljenost mimosmjernih pravaca.


    Udaljenost između pravca i ravnine
  • Ako se pravac i ravnina sijeku, njihova je udaljenost \({\small 0}\).
  • Ako je pravac paralelan s ravninom, njihova je udaljenost jednaka udaljenosti bilo koje točke pravca od njezine ortogonalne projekcije na tu ravninu.

    Udaljenost između dvije ravnine
  • Ako se ravnine sijeku, njihova je udaljenost \({\small 0}\).
  • Ako su ravnine paralelne, njihova je udaljenost jednaka udaljenosti bilo koje točke prve ravnine od njezine ortogonalne projekcije na drugu ravninu.



    Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu