Processing math: 100%

2.1.2. Osnovni stereometrijski odnosi

Međusobni položaj točaka, pravaca i ravnina

Dvije točke mogu se ili podudarati ili biti različite.

Točka i pravac mogu biti u sljedećim položajima:
  • T leži na pravcu p (Tp)
  • T ne leži na pravcu p (Tp).

    Točka i ravnina mogu biti u sljedećim položajima:
  • T leži u ravnini Σ (TΣ)
  • T ne leži u ravnini Σ (TΣ).

    Dva pravca mogu se ili podudarati ili biti različiti. Ako su različiti, mogu biti u sljedećim položajima:
  • pravci p1i p2 se sijeku te tada imaju jednu zajedničku točku u konačnosti koju nazivamo njihovim sjecištem,
    a za pravce kažemo da su ukršteni ( p12=P)
  • pravci p1i p2 su paralelni, odnosno njihovo je sjecište neka beskonačno daleka točka ( p1||p2, tj. p1p2=P )
  • pravci p1i p2 su mimosmjerni ili mimoilazni te tada nemaju ni jednu jednu zajedničku točku (p12=ϕ).

    Slika 2.5a: Pravci se sijeku (ukršteni)

    Slika 2.5b: Paralelni pravci

    Slika 2.5c: Mimosmjerni pravci


    Dvije ravnine mogu se ili podudarati ili biti različite. Ako su različite, mogu biti u sljedećim položajima:
  • ravnine Σ1 i Σ2 se sijeku te tada imaju jedan zajednički pravac kojeg nazivamo njihovom presječnicom (Σ1Σ2=p)
  • ravnine Σ1 i Σ2 su paralelne, odnosno njihova je presječnica neki beskonačno daleki pravac prostora (Σ1Σ2, tj. Σ1Σ2=p).


    Slika 2.6a: Ravnine se sijeku duž presječnice Slika 2.6b: Paralelne ravnine


    Pravac i ravnina u prostoru mogu biti u sljedećim položajima:
  • pravac p leži u ravnini Σ, odnosno ako dvije različite točke pravca p leže u ravnini Σ, onda i pravac p leži u ravnini Σ, (pΣ)
  • pravac p i ravnina Σ se sijeku - tada pravac i ravnina imaju jednu zajedničku točku u konačnosti koju nazivamo njihovim probodištem  (pΣ=P)
  • pravac p i ravnina Σ su paralelni, odnosno njihovo je probodište beskonačno daleka točka ( pΣ, tj. pΣ=P).
    Pravac p paralelan je s ravninom Σ ako u Σ postoji barem jedan pravac koji je paralelan s pravcem p. Tada vrijedi da u ravnini Σ postoji beskonačno mnogo pravaca koji su paralelni s pravcem p. Oni čine pramen paralelnih pravaca u toj ravnini.





    Slika 2.7a: Pravac leži u ravnini Slika 2.7b: Pravac probada ravninu u probodištu Slika 2.7c: Pravac je paralelan s ravninom

    Određenost ravnine

    Ravnina je jednoznačno određena s:
  • tri nekolinearne točke
  • jednim pravcem i jednom točkom koja ne leži na tom pravcu
  • dva pravca koji se sijeku
  • dva paralelna pravca.
    Slika 2.8a Slika 2.8b Slika 2.8c Slika 2.8d

    Za točke i pravce koji leže u istoj ravnini kažemo da su komplanarni.
    Dva mimosmjerna pravca ne mogu ležati u istoj ravnini pa stoga mimosmjerni pravci nikada nisu komplanarni.

    Mjerenje kuta i okomitost

    Kut između pravaca i okomiti (ortogonalni) pravci

    Kut između dva pravca koji leže u istoj ravnini učili ste mjeriti još u osnovnoj školi. Znate da je kut između dva okomita pravca 90 (pravi), a onaj između paralelnih pravaca 0. U svim ostalim slučajevima veličina kuta je između te dvije vrijednosti. Ovdje ćemo mjerenje kuta proširiti i na pravce koji ne leže u istoj ravnini, dakle na mimosmjerne pravce. To činimo na sljedeći način:

  • Neka su p i q dva mimosmjerna pravca. Na bilo kojem od tih pravaca odaberemo jednu točku i kroz nju položimo pravac r koji je paralelan s drugim. Kut između tako dobivenih ukrštenih pravaca jednak je kutu između mimosmjernih pravaca p i q.

  • Mimosmjerni pravci su okomiti (ortogonalni) ako je kut između njih (prema navedenoj definiciji) pravi.


    Slika 2.9a: qr,(p,q)=(p,r) Slika 2.9b: qr,prpq


    Okomitost pravca i ravnine

  • Pravac p okomit je na ravninu Σ ako je okomit na svaki pravac u toj ravnini.
    Pravac p nazivamo okomicom ili normalom ravnine Σ, a probodište pravca p i ravnine Σ nožištem pravca p.

    Međutim, jasno je da nije potrebno (a ni moguće) provjeravati ortogonalnost za sve pravce ravnine, pa se postavlja pitanje koji su dovoljni uvjeti da pravac i ravnina budu okomiti? Odgovor je dan u sljedećem teoremu kojeg ovdje nećemo dokazivati:

  • Pravac p okomit je na ravninu Σ ako je okomit na bilo koja dva ukrštena pravca te ravnine.

    Usto ističemo još dva važna teorema (intuitivno vrlo jasna), koji su vezani za okomitost pravca i ravnine:
  • Svakom točkom prostora prolazi jedinstvena ravnina koja je okomita na dani pravac.
  • Svakom točkom prostora prolazi jedinstvena okomica dane ravnine.

    Na slici 2.10 dane su ilustracije tih teorema.
    Slika 2.10


    Okomitost dviju ravnina

  • Dvije su ravnine okomite ako jedna od tih ravnina sadrži barem jedan pravac koji je okomit na drugu ravninu.

    Tu činjenicu možemo i ovako zapisati: Σ1Σ2pΣ1,pΣ2

    Relacija okomitosti je simetrična, odnosno ako je Σ1Σ2, onda je i Σ2Σ1. Stoga i u ravnini Σ2 postoji pravac koji je okomit na ravninu Σ1. Štoviše, ako su dvije ravnine okomite, tada svaka od njih sadrži beskonačno mnogo pravaca (pramen paralelnih pravaca) koji su okomiti na drugu ravninu.

    Slika 2.11a: Σ1Σ2 Slika 2.11b: Σ2Σ1


    Ortogonalna projekcija

  • Ortogonalna projekcija Tp, točke T na pravac p, sjecište je pravca p i okomice iz T na p koja leži u ravnini određenoj s T i p.
    Ako T leži na pravcu p, onda je Tp=T.

  • Ortogonalna projekcija TΣ, točke T na ravninu Σ, probodište je ravnine Σ i pravca koji prolazi točkom T, a okomit je na Σ.
    Ako T leži u ravnini Σ, onda je TΣ=T.

  • Ortogonalna projekcija pΣ, pravca p na ravninu Σ, skup je ortogonalnih projekcija svih točaka pravca p na ravninu Σ.
    Ako je pravac p okomit na ravninu Σ, onda je njegova ortogonalna projekcija točka (TΣ=pΣ).
    U svim ostalim slučajevima pΣ je pravac.
    Ako pravac p leži u ravnini Σ, onda je pΣ=p.
    Slika 2.12a: Ortogonalna projekcija točke na pravac Slika 2.12b: Ortogonalna projekcija točke na ravninu Slika 2.12c: Ortogonalna projekcija pravca na ravninu


    Kut između pravca i ravnine

    Za pravac koji nije okomit na ravninu vrijedi:

  • Kut između pravca i ravnine jednak je kutu između pravca i njegove ortogonalne projekcije na tu ravninu - (p,Σ)=(p,pΣ).

    Sasvim je razumljivo da ako pravac leži u ravnini ili je s njom paralelan, kut između pravca i ravnine je 0.
    Ako je pravac okomit na ravninu, kut između njih je 90.

    Slika 2.13: Kut između pravca i ravnine


    Kut između dvije ravnine

  • Kut između paralelnih ravnina je 0.

    Kao definiciju kuta između dvije ravnine koje se sijeku možemo odabrati jednu od sljedeće dvije definicije:

  • Kut između dviju ravnina koje se sijeku jednak je kutu između bilo koja dva pravca koji leže u tim ravninama (po jedan u svakoj od njih), a okomiti su na njihovu presječnicu.

  • Kut između dviju ravnina koje se sijeku, jednak je kutu između njihovih normala.
    Slika 2.14a: Kut između dvije ravnine

    Slika 2.14b: Ukršteni pravci (s pomoću kojih mjerimo kut) leže u bilo kojoj ravnini okomitoj na njihovu presječnicu

    Udaljenost

    Udaljenost između dviju točaka
    Mjerenje udaljenosti između dviju točaka T1 i T2 vjerojatno je prvo mjerenje s kojim ste se u životu susreli.
    Ta je udaljenost jednaka duljini dužine kojoj su krajevi točke T1 i T2.
    Broj koji izražava tu udaljenost označavamo d(T1,T2).
    Ako je T1=T2, onda je d(T1,T2)=0.

    Udaljenost između dva skupa točaka
    Udaljenost dva skupa točaka A i B je najkraća udaljenost među točkama tih skupova.
    d(A,B)=min{d(A,B)|AA, BB}.

    Udaljenost između točke i pravca
    Udaljenost između točke T i pravca p je udaljenost točke T od njezine ortogonalne projekcije na taj pravac, dakle d(T,p)=d(T,Tp).

    Udaljenost između točke i ravnine
    Udaljenost između točke T i ravnine Σ je udaljenost točke T od njezine ortogonalne projekcije na tu ravninu, odnosno d(T,Σ)=d(T,TΣ).

    Udaljenost između dva pravca
  • Ako se pravci sijeku, njihova je udaljenost 0.
  • Ako su pravci paralelni, njihova je udaljenost jednaka udaljenosti bilo koje točke prvog pravca od njezine ortogonalne projekcije na drugi pravac.
  • Udaljenost mimosmjernih pravaca jednaka je udaljenosti njihovih sjecišta sa zajedničkom normalom.
    Naime, za svaka dva mimosmjerna pravca postoji jedinstveni pravac koji ih siječe i na svakog je okomit. Takav pravac nazivamo zajedničkom normalom mimosmjernih pravaca.

    Slika 2.15: Udaljenost mimosmjernih pravaca.


    Udaljenost između pravca i ravnine
  • Ako se pravac i ravnina sijeku, njihova je udaljenost 0.
  • Ako je pravac paralelan s ravninom, njihova je udaljenost jednaka udaljenosti bilo koje točke pravca od njezine ortogonalne projekcije na tu ravninu.

    Udaljenost između dvije ravnine
  • Ako se ravnine sijeku, njihova je udaljenost 0.
  • Ako su ravnine paralelne, njihova je udaljenost jednaka udaljenosti bilo koje točke prve ravnine od njezine ortogonalne projekcije na drugu ravninu.



    Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu