|
Perspektivno kolinearna slika pravca
Na slici 15 je pokazano čime je određena perspektivna kolineacija i kako se u zadanoj perspektivnoj kolineaciji za bilo koju točku konstruira njezina slika. To je ujedno i temeljna konstrukcija za slike ostalih ravninskih figura.
Na slici 16 zadana je perspektivna kolineacija (S,o,X1,X2) i pravac a1. Treba konstruirati perspektivno kolinearnu sliku pravca a1, tj. pravac a2.
|
Slika 16
|
|
1. korak: Na pravcu a1 odabrana je točka A1 i konstruirana njena perspektivno kolinearna slika A2. Kao na slici 15.
2. korak:
Budući da je svaki pravac jednoznačno određen sa svoje dvije točke, pravac a2 konstruiran je kao spojnica točke A2 i sjecišta pravca a1 s osi perspektivne kolineacije.
- Točku A1∈a1
odabrali smo po volji. Pomičite sada točku A1 i uočite da slika pravca a1, tj. pravac a2, ne ovisi o izboru položaja te točke.
- Položaj točaka X1 i X2 odredio je perspektivnu kolineaciju. Pomičite sada bilo koju od tih točaka dovodeći ih u razne međusobne položaje (s iste ili sa suprotnih strana središta ili osi), i mijenjajte time zadanu perspektivnu kolineaciju. Promatrajte promjene i stalnost konstrukcije.
3. korak:
Pomicanjem točke Y dovedite pravac a1 u položaj paralelan s osi. Sada je i slika a2 paralelna s osi. Ponovno mijenjajte položaj odredbenih točaka X1 i X2 te uočite da to vrijedi za svaku perspektivnu kolineaciju.
|
Znamo da je perspektivna kolineacija preslikavanje koje točkama ravnine pridružuje točke te iste ravnine. Zbog toga svaku točku možemo promatrati kao element domene, ali i kao element kodomene. U dosadašnjim smo primjerima domenu označavali indeksom 1, a kodomenu indeksom 2. Na primjer, promatrali smo sljedeća pridruženja točaka i pravaca: A1→A2, X1→X2, p1→p2, a1→a2,...itd.
Međutim, perspektivna kolineacija je bijektivno preslikavanje kod kojeg je inverzno preslikavanje također perspektivna kolineacija s istim odredbenim elementima samo što je polje s indeksom 2 domena, a polje s indeksom 1 kodomena tog preslikavanja. Tu vrijede sljedeća pridruženja A2→A1, X2→X1, p2→p1, a2→a1,...itd.
U svim sljedećim primjerima ova ćemo dva preslikavanja tretirati ravnopravno, tj. preslikavat ćemo iz polja 1 u polje 2 i obrnuto, iz polja 2 u polje 1, primjenjujući isti način konstrukcije. Pri tome samo treba uvijek imati na umu da su istim indeksom označeni elementi i figure istog polja.
Na slikama 17 i 18 konstruirane su perspektivno kolinearne slike dvaju pravaca a2 i b2. U primjeru na slici 17 ti su pravci ukršteni i sijeku se u točki O2, dok su u primjeru na slici 18 oni paralelni, a njihovo beskonačno daleko sjecište označili smo O2∞.
Perspektivno kolinearnu sliku para ukrštenih pravaca na slici 17 odredili smo tako da smo prvo konstruirali točku O1 (sliku njihovog sjecišta), a zatim koristili svojstvo da se parovi perspektivno kolinearno pridruženih pravaca sijeku na osi.
Na toj slici možete pomicati točke X1 i X2 (mijenjati perspektivnu kolineaciju) kao i točku O2 čime mijenjate položaj pravaca a2, b2. Uočite sljedeće:
U općem slučaju, perspektivna kolineacija NE čuva veličinu kuta između pravaca, tj. to preslikavanje nije konformno.
Perspektivno kolinearnu sliku para paralelnih pravaca na slici 18 odredili smo tako da smo prvo konstruirali točke A1 (sliku točke A2∈a2) i B1 (sliku točke B2∈b2), a zatim koristili svojstvo da se parovi perspektivno kolinearno pridruženih pravaca sijeku na osi. Pravci a1 i b1 su ukršteni, sijeku se u točki O1 koja je, zbog kolinearnosti preslikavanja, perspektivno kolinearna slika beskonačno dalekog sjecišta O2∞. Uočite sljedeće svojstvo:
U općem slučaju, perspektivna kolineacija NE čuva paralelnost.
Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu, Izrađeno GeoGebrom
|